Основы теории распределения Пуассона

Пусть происходит большое число опытов n. В каждом из опытов событие А может появиться с небольшой вероятностью р. Величина我们进行大量的实验，用n表示，每次独立的实验为事件A，发生事件A的概率为p，那么

(7.1)

в пределе при связана с интенсивностью наступления события А. Тогда случайная величина Х – число появлений события А распределена по закону Пуассона. 当n趋向无限大时，事件A发生的概率也会频繁，那么事件A发生的随机变量X的分布将符合泊松定律。

. (7.2)

7.2. Пример решения типового задания по теме
«Распределение Пуассона»例题详解

Задание № 7. Только 2 из 500 метеоритов, достигающих поверхности Земли, весят больше 5 г. Какова вероятность, что из 750 метеоритов, упавших за неделю на территории Челябинской области сравнительно крупными (массой больше 5 г.) будут: 重量大于5公斤的陨石每500颗陨石只有2颗到达地球表面，在本周坠落在750颗陨石中本周坠落在车里雅宾斯克地区，重量在5g以上的：

1. Больше 3 метеоритов?大于3颗

2. От 2 до 4 метеоритов? 2-4颗

3. Хотя бы 1 метеорит?至少一颗

Решение. Определим параметры закона Пуассона. Вероятность падения сравнительно крупного метеорита . Обнаружено на территории Челябинской области n = 750 метеоритов. Тогда, согласно формуле (7.1),

.根据定律求参数，比较大的陨石的坠落概率为 。在车里雅宾斯克地区坠落的陨石N = 750。根据公式7.1 得出

Найдем вероятность, что крупных метеоритов будет больше 3. По формуле вероятности противоположного события:我们可以通过求相反事件发生的概率，求得较大的陨石坠落的概率

.

.

Искомая вероятность представляет собой сумму вероятностей того, что случайная величина Х принимает фиксированные значения. 所需要的概率是一个随机变量X取固定值的概率时的总和

Формулой суммы вероятностей можно пользоваться именно в таком виде, поскольку считается, что случайная величина Х, распределенная по закону Пуассона, принимает любое свое значение независимо от других принятых ею значений.概率之和公式可以以这种形式使用，因为它认为，随机变量X是按照泊松分布规律，可以取任何值，不受其他值约束。

Вероятности того, что случайная величина Х принимает фиксированные значения, вычисляются по формуле (7.2):随机变量X根据固定公式可求出概率：

,

,

,

.

Тогда 那么

.

Соответственно相应的

.

Найдем вероятность, что крупных метеоритов будет от 2 до 4: 大陨石将会坠落2到4颗的概率： .

Обратим внимание, что часть вероятностей уже найдена. Оставшуюся неопределенной вероятность находим по формуле (7.2):部分概率已经求出，未知概率 ，由下式求出：

.

Тогда .

Найдем вероятность, что крупных метеоритов будет хотя бы 1. Это . По формуле вероятности противоположного события:

求陨石至少1颗坠落的概率，这个可按照相反的事件的概率公式求出：

.

Результат, как обычно, не противоречит житейской логике. Действительно, если из 500 метеоритов в среднем 2 относительно крупные, то среди 750 с большой вероятностью найдется хотя бы 1 относительно крупный.

得出结果不违背逻辑。事实上，如果每500颗中有2颗比较大的陨石坠落，那么 750颗陨石很可能会发现至少有一个比较大的。

7.3. Задания по теме «Распределение Пуассона» 习题

7.1. Вероятность появления бриллианта высшего качества 0,3%. Какова вероятность, что среди 900 бриллиантов фирмы «Бриз»: 1. Больше 2 высшего качества? 2. От 1 до 4 высшего качества? 3. Меньше 3 высшего качества? 出现最高质量的钻石概率是0.3 ％。在这样的概率下，«Бриз»公司900颗钻石中，出现高质钻石有： 1.大于两颗？ 2.1-4颗？ 3.少于3颗？	7.2. Только 0,15% альпинистов восходят на Эверест. Какова вероятность, что из 600 членов клуба «Гора»: 1. Кто-либо восходил на Эверест? 2. Более 3-х восходили на Эверест? 3. От 2 до 3 восходили на Эверест? 只有0.15 ％的登山者能登上珠穆朗玛峰。在这种情况下，600名登山俱乐部成员中能登上珠穆朗玛峰有： 1.至少一人？ 2.大于三人？ 3.至少3人？
7.3. Вероятность встретить зайца в городе 0,1% в год. В городе живут 400 зайцев. С какой вероятностью можно увидеть за год: 1. Больше 1 зайца? 2. От 1 до 3 зайцев? 3. Хотя бы 1 зайца? 一年中在城市中遇到野兔的概率是0.1%,在城市中有着400只野兔。这种情况下一年中能看到多少只野兔： 1. 大于一只？ 2. 1-3只？ 3. 至少一只？	7.4. В лесу - 0,8% деревьев старше 200 лет. Исследовали 400 деревьев. Какова вероятность, что было обнаружено: 1. Только 3 двухсотлетних? 2. Больше 2 двухсотлетних? 3. Ни одного двухсотлетнего? 在森林中有0，8%的树超过200年，在400棵树中调查。能够发现： 1.只有3棵200年以上的树？ 2.大于2棵200年以上的树？ 3.没有200年以上的树？
7.5. 0,3% лингвистов знают больше 10 языков. На конференцию собрались 250 лингвистов. Какова вероятность, что больше 10 языков знают: 1. Хотя бы 1? 2. Хотя бы 3? 3. Меньше 2? 有0,3%的语言学家知道超过10种以上的语言。这次会议汇集了250名语言学家。在这种概率下，知道超过10种语言的语言学家： 1.至少一位？ 2.至少3位？ 3.少于两位？	7.6. Вероятность, что в семье 4 и больше детей 0,4%. Какова вероятность, что среди 700 обследованных семей больше 4 детей имеют: 1. Больше 4 семей? 2. От 1 до 3 семей? 3. Не больше 2 семей? 0,4%的家庭中有4个或超过4个孩子。在这种情况下，调查700个家庭中有超过4个孩子： 1.大于4个家庭？ 2. 1个至3个家庭？ 3. 不会超过2个家庭？
7.7. Менеджмент считается эффективным, если вероятность ошибок менеджеров, связанных с существенными потерями составляет 0,03% в год. В компании 1500 менеджеров. Какова вероятность, что в год допустят серьезные ошибки: 如果一年中管理人员出现严重错误给公司带来0.03%的损失，那么管理人员被视为优秀的。公司中有1500名管理人员。在这种情况下一年中犯了严重错误的管理人员： 1. Хотя бы 1 из них? 至少1名 2. 1 или 2? 1名或两名 3. Более 3?超过3人	7.8. Только 0,02% иностранных студентов в России не имеют адаптационных трудностей. Какова вероятность того, что из 2000 иностранных студентов не имели адаптационных трудностей: 1. Хотя бы 1? 2. Больше 3? 3. Меньше 2? 只有0.02%的外国学生在俄罗斯没有适应上得困难。在这种情况下，2000名外国学生中没有适应上困难的有： 1.至少1名？ 2.大余3名？ 3. 少于2名？
7.9. Вероятность появления 6-ти лепесткового цветка сирени 0,06%. На ветке в соцветиях 1000 цветочков. Какова вероятность: 1. Не найти 6-ти лепестковых? 2. Найти 1 или 2 6-ти лепестковых? 3. Найти больше 4 6-ти лепестковых? 出现6色花瓣花的概率是0，06%。在1000支中研究，在这种情况下： 1.没有6色花瓣花？ 2.找到一到两支6色花瓣花？ 3. 找到大于四支6色花瓣花？	7.14. Обычно на рейс опаздывает 1,5% пассажиров. На рейс куплено 300 билетов. Какова вероятность того, что на рейс опоздают: 1. Менее 3 пассажиров? 2. Хотя бы 1 пассажир? 3. Один или 2 пассажира? 通常情况下，有1,5%的乘客会在乘坐航班时迟到。一次航班有300张票，在这种情况下，航班上迟到的乘客： 1.少于三名？ 2.至少1位？ 3. 1名或者2名？