Схема 2.5

(iii) Выражение l_xA¹(x) обозначает одноместный предикат, определенный на области изменения переменной х, рассматриваемый как особый абстрактный предмет.

(iv) Выражение lx₁,x₂,...,x_nАⁿ(x₁, x₂ ,…,x_n) обозначает n-местный предикат, определенный на области упорядоченных n-ок предметов, взятых из областей изменения переменных x₁, x₂,…,x_n в соответствующем порядке, рассматриваемый как особый абстрактный предмет.

Пример 2.10. На предметной области конкретныx предметов (то есть предметов, доступных чувственному восприятию, существующих в пространстве и времени) определяются конкретные предикаты: «x –красный», «x – синий», «x – зеленый», «x – твердый», «x – горький».

ОО: конкретные предметы

x – красный А¹(x)

x – синий В¹(x)

x – твердый (x)

(x)

ОО: свойства конкретных предметов x – цвет А¹(x)

..

l _x (x – красный) l _x (x – синий)

Действуя абстрактором l _x (...) на предикаторы А¹(x) – (x), получаем имена предметов новой предметной области – области абстрактных предметов, предметами которой являются свойства конкретных предметов, рассматриваемые как особые предметы: l _x (x –красный) – «свойство быть красным», «краснота»;l _x (x –синий) – «синева»; l _x (x –твердый) – «твердость»; l _x (x –горький) – «горечь». На новой предметной области абстрактных предметов определяются новые предикаты – абстрактные предикаты (абстрактные понятия), например, предикат «x – цвет».

Терминология любой науки, использующей аппарат современной логики, содержит термины (понятия) различных уровней абстракции. Уровень абстракции научной терминологии определяется индуктивно:

1) 0-ой (нулевой) уровень абстракции (уровень абстракции с порядковым номером 0) составляют конкретные предикаты (понятия);

2) n+1-ый (n плюс первый) уровень абстракции (уровень абстракции с порядковым номером n+1) составляют понятия (предикаты), область определения которых состоит из абстрактных предметов, полученных путем абстракции из понятий n-ого уровня абстракции, или кортежей этих абстрактных предметов;

3) каждый термин научной терминологии относится к одному и только одному уровню абстракции.

Определенное выше логическое действие называется также абстракцией отождествления, поскольку в основе этого действия лежит отождествление предметов (или кортежей предметов) по общему для них свойству (отношению). При образовании абстрактных предметов в науках, использующих аппарат современной логики, применяют также так называемые идеализирующие абстракции; с помощью таких абстракций вводятся так называемые идеальные или идеализированные объекты, то есть объекты, фиксирующие свойства, заведомо отсутствующие у конкретных объектов («идеальный газ», «идеальная паровая машина» и т. д.). Наиболее употребительными в математике являются абстракция потенциальной осуществимости, с помощью которой образуется потенциально бесконечный ряд натуральных чисел (мы отвлекаемся здесь от ограниченности материальных возможностей построения конкретных совокупностей материальных предметов, содержащих любое число членов), и абстракция абсолютной осуществимости, согласно которой в логике признается существующим любой абстрактный предмет с непротиворечивыми свойствами; с помощью данной абстракции в математике при рассуждениях о потенциально бесконечных последовательностях используются в полном объеме законы классической логики (в частности, законы непротиворечия и исключенного третьего), что равнозначно рассмотрению таких принципиально незавершенных конструкций как законченных, данных всеми своими членами одновременно.

С понятием абстракции тесно связан важнейший принцип дидактики – принцип наглядности обучения. В отношении терминологии изучаемой научной дисциплины суть этого принципа может быть выражена следующим образом: в процессе преподавания любой научной дисциплины все термины должны вводится последовательно, начиная с нулевого уровня абстракции; при переxоде к понятиям более высокого уровня абстракции необxодимо фиксировать внимание учащиxся на используемыx при этом абстракцияx; учащийся должен уметь сводить понятия любого уровня абстракции к конкретным понятиям, то есть понятиям нулевого уровня абстракции.

Отношение принадлежности элемента множеству – исходное отношение теории множеств,обозначается: а Î {x½А¹(x)}, читается: «предмет а принадлежит множеству {x½А¹(x)}, является элементом множества {x½А¹(x)}», или

áа₁, а₂,..., а_nñ Î {áx₁, x₂,..., x_nñ½Аⁿ(x₁, x₂,..., x_n)},

читается: «кортеж предметов áа₁, а₂,..., а_nñ принадлежит множеству {áx₁, x₂,..., x_nñ½Аⁿ(x₁, x₂,..., x_n)}, является элементом множества {áx₁, x₂,..., x_nñ½Аⁿ(x₁, x₂,..., x_n)}», – определяется следующим образом:

а Î {x½А¹(x)}, если и только если А¹(а) – истинно, то есть если и только если предикат А¹(x) ставит в соответствие предмету а значение и (то есть предмет а обладает свойством А¹(x), предмет а попадает в область истинности предиката А¹(x));

áа₁, а₂,..., а_nñ Î {áx₁, x₂,..., x_nñ½Аⁿ(x₁, x₂,..., x_n)}, если и только если Аⁿ(x₁, x₂,..., x_n) – истинно, то есть если и только если предикат Аⁿ(x₁, x₂,..., x_n) ставит в соответствие кортежу áа₁, а₂,..., а_nñ значение и (то есть предметы а₁, а₂,..., а_n находятся в отношении Аⁿ(x₁, x₂,..., x_n), кортеж áа₁, а₂,..., а_nñ попадает в область истинности предиката Аⁿ(x₁, x₂,..., x_n)).

Множество {áx₁, x₂,..., x_nñ½Аⁿ(x₁, x₂,..., x_n)} (сокращенно Аⁿ) равномножеству {áx₁, x₂,..., x_nñ½Вⁿ(x₁, x₂,..., x_n)} (сокращенно Вⁿ), если и только если они включают одни и те же элементы, то есть каждый элемент множества Аⁿ принадлежит Вⁿ и каждый элемент множества Вⁿ принадлежит Аⁿ. Равенство множеств записывается с помощью символа равенства =:

{áx₁, x₂,..., x_nñ½Аⁿ(x₁,x₂,..., x_n)} = {áx₁, x₂,..., x_nñ½Вⁿ(x₁,x₂,..., x_n)}

или Аⁿ = Вⁿ.

Множество Аⁿ является подмножеством множества Вⁿ:

Аⁿ Í Вⁿ , если и только если каждый элемент Аⁿ является элементом Вⁿ.

Множество Аⁿ является собственным подмножествоммножества Вⁿ: Аⁿ Ì Вⁿ, если и только если каждый элемент Аⁿ является элементом Вⁿ и существуют элементы Вⁿ, которые не являются элементами Аⁿ.

Отношения между множествами графически представлено схемой 2.6.