ОО: упорядоченные двойки (пары) людей

А²(x,у) В²(x,у) – внеположенность(1);

А²(x,у) С²(x,у) – внеположенность (2);

А²(x,у) А₁²(x,у)– внеположенность (3);

А²(x,у) В₁²(x,у) – внеположенность (4);

А²(x,у) С₁²(x,у) – внеположенность (5);

А²(x,у) А₂²(x,у) – внеположенность (6);

В²(x,у) С²(x,у) – внеположенность (7);

В²(x,у) А₁²(x,у) – внеположенность (8);

В²(x,у) В₁²(x,у) – внеположенность (9);

В²(x,у) С₁²(x,у) – внеположенность (10);

В²(x,у) А₂²(x,у) – внеположенность (11);

С²(x,у) А₁²(x,у) – внеположенность (12);

С²(x,у) С₁²(x,у) – внеположенность (13);

С²(x,у) А₂²(x,у) – внеположенность (14);

С²(x,у) В₁²(x,у) – внеположенность (15);

А₁²(x,у) В₁²(x,у) – внеположенность (16);

А₁²(x,у) С₁²(x,у) – внеположенность (17);

А₁²(x,у) А₂²(x,у) – внеположенность (18);

В₁²(x,у) С₁²(x,у) – перекрещивание (19);

В₁²(x,у) А₂²(x,у) – перекрещивание (20);

С₁²(x,у) А₂²(x,у) – перекрещивание (21).

Разъяснения. В случаях (1), (3), (7), (12) перекрещивание понятий исключается принципом причинности, регулирующим родственные отношения, зафиксированные в используемых здесь понятиях. Принцип причинности (ПП) применительно к данным случаям сводится к двум утверждениям:

(ПП1) каждый человек связан со своей матерью причинно-следственной связью (а через мать и отца – с бабушкой и дедушкой);

(ПП2) причина предшествует действию во времени.

В случае (1), например:

(1.1) если а есть мать b, то неверно, что b есть мать а, то есть если á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – мать у }, то á b, а ñÏ{á х, у ñ½ х – мать у };

(1.2) если а есть дочь b, то неверно, что b есть дочь а, то есть: если á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – дочь у }, то á b, а ñÏ{á х, у ñ½ х – дочь у },

где á а, b ñÏ{á х, у ñ½ R²(x, у) } означает Øá а, b ñÎ{á х, у ñ½ R²(x, у) }.

Симметричным в логике называют ненулевое бинарное (двуместное) отношение R²(x, у), для которого справедливо условие:

если áа, bñÎ{áх, уñ½R²(x, у)}, то áb, аñÎ{áх, уñ½R²(x, у)} (в предположении, что существует хотя бы одна пара áа, bñ такая, что áа, bñÎ{áх, уñ½R²(x, у)}, то есть понятие R²(x, у)не является нулевым).

Ненулевое бинарное отношение R²(x, у), для которого выполняется условие

если áа, bñÎ{áх, уñ½R²(x, у) }, то áb, аñÏ{áх, уñ½R²(x, у)}, называют асимметричным.

Отношения А²(x, у): x – мать у и В²(x, у): x – дочь у являются асимметричными; кроме того, если á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – мать у } и b Î{ х ½ х – дочь}, то á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – дочь у }; а поэтому объемы этих понятий не пересекаются: А² Ç В²=Æ,

где: А² D {á х, у ñ½ А²(x, у) }; В² D {á х, у ñ½ В²(x, у) }; Æ – пустое множество,

то есть: (1) А²(x, у) В²(x, у) – внеположенность.

Аналогично асимметричными являются отношения:

С²(x, у): х – бабушка у и (x, у): х – внучка у; С² Ç А₁²=Æ;

то есть: (12) С²(x, у) (x, у) – внеположенность.

Отношение С²(x, у): х – бабушка у выражается через отношения х – мать у и, возможно, х – отец у, также подчиненные принципу причинности:

х – бабушка у =_Df $ z - человек (х – мать zÙ(z – мать уÚ z – отец у));

С²(x, у) =_Df $ z - человек (A²(x, z)Ù(A²(z, у)Ú B²(z, у))),

где В²(x, у): х – отец у; знак =_Df является знаком реального определения, читается «…равно по определению…».

Аналогично отношение (x, у): х – внучка у выражается через отношения х – дочь у и, возможно, х – сын у, также подчиненные принципу причинности:

х – внучка у =_Df $ z - человек (х – дочь zÙ(z – дочь уÚ z – сын у));

(x, у) =_Df $ z - человек (В²(x, z)Ù(В²(z, у)Ú С₂²(z, у))),

где (x, у): х – сын у.

Отсюда: (3) А²(x,у) (x,у) - внеположенность, т. е. А² Ç =Æ;

(7) В²(x,у) С²(x,у) – внеположенность, т. е. В² Ç С²=Æ.

Отношения кровного родства можно представить с помощью направленного графа без петель.

Графом* называют совокупность точек на плоскости (вершин графа), соединенных друг с другом линиями (дугами графа). Если каждой дуге сопоставлено направление (от начальной вершины до конечной), граф называется направленным. Петлей называют дугу, начальная и конечная вершины которой совпадают, то есть дугу вида ám,mñ:

m – вершина графа.

^m

Симметричное отношение представляется направленным графом, каждая пара вершин которого соединяется двумя противоположно направленными дугами: (m_i, m_j – i-тая и j-тая вершины графа; i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, n; i¹j):

m_i m_j.

Асимметричное отношение представляется направленным графом, в котором отсутствуют пары вершин, соединенные противоположно направленными дугами; то есть все вершины в таком графе соединены лишь одинарными дугами:

m_i m_j.

Рефлексивное отношение, то есть ненулевое отношение R²(x, у), удовлетворяющее условию: для каждого аÎU: aR²a истинно, (U – универсум рассуждения), изображается направленным графом, каждая вершина которого снабжена петлей:

m_i .

Транзитивное отношение, то есть ненулевое отношение R²(x, у), удовлетворяющее условию: для каждых аÎU, bÎU, сÎ U: если aR²b и bR²с, то aR²с, изображается направленным графом, в котором все вершины разбиты на тройки, соединенные следующим образом:

m­_j m_k

m_i.

Для родственных отношений U – множество людей; кровная связь между родителями и детьми изображается дугами. Направление дуг определяется принципом причинности и совпадает с направлением времени:

а b

(мать) (отец)

с

(сын или дочь).

Направленный граф, представляющий родственное отношение, не может содержать петли; каждая пара вершин его соединена не более чем одной дугой (асимметричность отношения родители-дети); в каждую вершину приходят две и только две дуги (каждый человек имеет двух и только двух родителей); число дуг, исходящих из каждой вершины, ограничено (в общем не более ста).

Родственные отношения, представленные в задаче, не являются транзитивными.

В случаях (1), (3), (7), (12) родственные отношения представляются направленными графами:

(1) А²(x,у) В²(x,у) а с

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – мать у }

á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – дочь у }

b

(перекрещивание невозможно в силу асимметричности А²(x,у) и В²(x,у)).

(12) С²(x,у) (x,у) а а₁

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – бабушка у }

á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – внучка у } с b₁

b

(перекрещивание невозможно в силу асимметричности С²(x,у) и (x,у)).

(3) A²(x,у) (x,у)

á а, с ñÎ{á х, у ñ½ х – мать у }

á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – внучка у }

(перекрещивание невозможно в силу нетранзитивности А²(x,у) и (x,у)).

(7) В²(x,у) С²(x,у)

á с, а ñÎ{á х, у ñ½ х – дочь у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – бабушка у }

(перекрещивание невозможно в силу нетранзитивности В²(x,у) и С²(x,у)).

В случаях (15) и (17) перекрещивание понятий невозможно по законам биологии (даже при допущении кровосмешения):

(15) С²(x,у) (x,у) (17) (x,у) (x,у)

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – бабушка у } á с, а ñÎ{á х, у ñ½ х – внучка у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – племянница у } á с, а ñÎ{á х, у ñ½ х – тетя у }

а₁

b₁

а

b с

а₁ рождает b от своего правнука с или с рождает b от своего прадеда а₁, что практически невозможно (по законам биологии).

В случаях (2), (4), (5), (6), (8), (9), (10), (11), (13), (14), (16), (18) перекрещивание понятий принципом причинности и законами биологии не запрещается, но возможно лишь при допущении кровосмешения.

(2) А²(x,у) С²(x,у) (8) В²(x,у) (x,у)

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – мать у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – дочь у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – бабушка у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – внучка у }

а рождает дочь b от своего сына с.

а

с

b

(4) А²(x,у) (x,у) (9) В²(x,у) (x,у)

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – мать у } á b, а ñÎ{< х, у ñ½ х – дочь у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – сестра у } á b, а ñÎ{< х, у ñ½ х – сестра у }

а с

b

а рождает дочь b от своего отца с.

(5) А²(x,у) (x,у) (11) В²(x,у) (x,у)

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – мать у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – дочь у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – тетя у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – племянница у }

а₁

а с

b а рождает дочь b от своего брата с.

(6) А²(x,у) (x,у) (10) В²(x,у) (x,у)

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – мать у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – дочь у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – племянница у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – тетя у }

а₁

c

a

b

а рождает дочь b от своего деда а₁.

(13) С²(x,у) (x,у) (16) (x,у) (x,у)

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – бабушка у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – дочь у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – сестра у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – сестра у }

а₁

а с

b

с– дочь, рожденная а от ее отца а₁; b – дочь, рожденная с от а₁.

(14) С²(x,у) (x,у) (18) (x,у) (x,у)

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – бабушка у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – внучка у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – тетя у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – племянница у }

а₁

а

b₁

с

b

с рождает дочь b от своего дяди b₁.

В случаях (19), (20), (21) имеет место перекрещивание понятий:

(19) (x,у) (x,у) (20) (x,у) (x,у)

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – сестра у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – сестра у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – тетя у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – племянница у }

а₁ b

· с

а b ₁

b₁ рождает дочь а от а₁, а затем дочь b₁ от другого брака с рождает дочь b от а₁ (кровосмешения нет).

(21) (x,у) (x,у)

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – тетя у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х – тетя у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х –племянница у } á b, а ñÎ{á х, у ñ½ х –племянница у }

а₁ b₁ b

·

·

a c₁ c

с₁ (дочь с) рождает дочь а от а₁, а с рождает дочь b от b₁ (сына а₁) или а₁ рождает дочь а от с₁ (сына с), а b₁ рождает дочь b от с.

Множество Ç Ç =Æ, так как одновременное выполнение условий:

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – сестра у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х – тетя у }

á а, b ñÎ{á х, у ñ½ х –племянница у }

невозможно; выполнение этих условий означало бы наличие в предшествующем направленном графе прямых дуг от а₁ к b или от с к а:

а₁ b₁ b

·

·

a c₁ c

что означало бы, что в вершину b (или с) приходит три дуги, а это невозможно (по законам биологии).

Таким образом, на рис. 3.2 изображено отношение понятий родственных отношений в предположении запрета на кровосмешение.