Св-ва самосопряженного оператора

x, y∈ ε _n, А∈L(ε _n).

[e]= — ОНБ

[e]: A↔A_е – матр. А в [e]ю

1° Операт. А явл. самосопр., т. и т.т., когда ∀ ij – 1, …, n,

1) Необходимость: очевидна

2) Достаточность:

Пусть ∀x, y∈ ε _n, ,

;

2° Оператор А явл. Самосопряж. т. т т.т., когда матр. Ае в произв. ОНБ явл. симметричной.

Док-во:

,

, т.е.. – симметричн. (т.е.. ).

3° Теорема

Все корни характерист-го многочл. симметричной матрицы действ. числа (без док-ва).

4° Всякий самосопряж. оператор имеет собств. вектор.

Док-во:

Пусть А – самосопряж., [e] – ОНБ; A↔ A_е симметричная. Все собств. знач. А – действ. корни мн-на по св-ву 3° мн-н имеет действ. корень, это собств. знач. А, → ∃ собств. вектор.

5° Собств. вектора относящ. к различным собств. знач. самосопряж. оператора ортогональны.

Док-во:

∀x, y: (Ax, y)=(x, Ay)

λ₁, λ₂∈ℝ, λ₁≠λ₂, ∃е₁, е₂ — ненулевые.

; .

, т.к.. λ₁≠λ₂, то , то есть .