Примеры решения задач. 1. Два одинаковых положительных заряда 0,1 мккл находятся в воздухе на расстоянии 8 см друг от друга

1. Два одинаковых положительных заряда 0,1 мкКл находятся в воздухе на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряжен­ность поля в точке О, находящейся на середине отрезка, соединяю­щего заряды, и в точке А, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов (рис. 4).

Дано: Q₁ = Q₂== 10^-7 Кл, ε =1, r ₀=0,08 м, r₁=0,05 м.

Найти: Е₀ и Е_А.

Решение. Напряженность поля, создаваемого зарядами, находится по принципу суперпозиции. Результирующая напряженность Е рав­на векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в данной точке поля: Е= E₁+Е₂. (1) Напряженность электриче­ского поля, создаваемая отдельным зарядом, определяется по фор­муле Ei = Q_i/(4πεε₀r₂). (2)

Чтобы найти напряженность поля в точке О, надо сначала по­строить векторы напряженностей. Так как заряды Q₁ и Q₂ положительные, векторы Е₁ и E ₂ направлены от точки Ов сторону от за­рядов, создающих это поле (см. рис. 4). Кроме того, по условию задачи заряды равны и расположены на одинаковом расстоянии от точки О. Поэтому с учетом направления векторов из формулы (1) получаем Eo=E₁, ₀— E₂, о;но так как E₁, ₀= E₂, о,то E₀,=0 Рис.4.

В точке А напряженность поля вычисляется по формуле (1); построение векторов проводится аналогично. Результирующий век­тор напряженности Е_А является диагональю параллелограмма (см. рис. 4), следовательно, Е_A = Е₁ + Е₂ или Е_A= 2 Е₁cosα,так как Е₁=Е₂. Из рис. 4 имеем cosα =h/r_i Напряженность поля в точке А определяем по формуле

Подставив в (3) числовые значения, получим

Ответ: E₀= 0, Е_A= 432 кВ/м.

2. Электроемкость плоского воздушного конденсатора С= 1нФ, расстояние между обкладками 4 мм. На помещенный между об­кладками конденсатора заряд Q=4,9 нКл действует сила F=98 мкН. Площадь обкладки 100 см². Определить: напряженность поля и раз­ность потенциалов между обкладками, энергию поля конденсато­ров и объемную плотность энергии.

Дано: F=9,8*10^-5 Н, Q=4,9*10^-9 Кл, C=10^-9 Ф, S=10^-2 м², d=4*10^-3 м, ε =1,

ε₀= 8,85*10^-12Ф/м.

Найти: E,U,W _э , ω.

Решение. Поле между обкладками конденсатора считаем однород­ным. Напряженность поля конденсатора определяется из выражения:.E=F/Q, где F-сила, с которой поле действует на заряд Q, по­мещенный между обкладками конденсатора. Подставив числовые значения, найдем

Е = 9,8*10^-5 Н/4,9*10^-9 Кл = 2*10⁴ В/м = 20 кВ/м.

Разность потенциалов между обкладками U = Ed. Подставив числовые значения, получим

U = 2*10^-4 В/м* 4 * 10^-3 м = 80 В.

Энергия поля конденсатора

Подставим числовые значения:

70,8 нДж.

Плотность энергии , где V=Sd -объем поля конденсатора; находим

Ответ: E = 20 кВ/м, U=80 W_э = 70,8 нДж, ω =1,77*10^-3 Дж/м³,

3. Найти, как изменятся электроемкость и энергия плоского воз­душного конденсатора, если параллельно его обкладкам ввести ме­таллическую пластину толщиной 1 мм. Площадь обкладки конден­сатора и пластины 150 см², расстояние между обкладками 6 мм. Конденсатор заряжен до 400 В и отключен от батареи.

Дано: ε =1, d₀=l0^{- 3}м, S=150 см²=15*10^-3 м², d=6*10^-3 м, U= 400 В.

Найти: ∆C, ∆W_э.

Решение. Емкость и энергия конденсатора при внесении в него ме­таллической пластины изменятся. Это вызвано тем, что при внесе­нии металлической пластины уменьшается расстояние между плас­тинами от d до (d—d₀) (рис. 5),

Используем формулу электроемкости плоского конденсатора: C= S/d, (I) где S -площадь обкладки; d — расстояние между обкладками. В данном случае получим, что изменение электроемкости конденсатора равно

Подставив числовые значения, получим

Так как электрическое поле в плоском конденсаторе однородно, плотность энергии во всех его точках одинакова и равна , (2) где Е- напряженность поля между обкладками конденсатора. При внесении металлической пластины параллельно об­кладкам напряженность поля осталась неизменной, а объем элек­трического поля уменьшился на Следова­тельно, изменение энергии (конечное значение ее меньше начального) произошло вследствие уменьшения объема поля конденсатора:

(3)

Напряженность поля Е определяется через градиент потенциала: E =-U/d (4)

где U -разность потенциалов; d - расстояние между обкладками.

Формула (3) с учетом (4) принимает вид

(5),

Подставляя числовые значения в формулу (5), получаем

Ответ: ∆С=4,42 пф; ∆W_э = —295 нДж.

4. Сила тока в резисторе линейно нарастает за 4 с от 0 до 8 А. Сопротивление резистора 10 Ом. Определить количество теплоты, выделившееся в резисторе за первые 3 с.

Дано: t₀ = 0, ti = 4 с, I = 0, I₁ = 8 А, t₂=3 с.

Найти Q.

Решение. По закону Джоуля—Ленца dQ=I²Rdt. (1) Так как си­ла тока является функцией времени, то I=kt,(2) где k — коэф­фициент пропорциональности, численно равный приращению тока в единицу времени:

Следовательно, dQ = k²t²Rdt.За первые три секунды выделится ко­личество теплоты

(3)

Подставляя числовые значения в формулу (3), получим

Q = 4А²/с²* 10 Ом*27 с³/3 = 360 Дж.

Ответ: Q = 360 Дж.

5. Батарея состоит из пяти последовательно соединенных элементов. ЭДС каждого 1,4 В, внутреннее сопротивление каждого 0,3 Ом. При каком токе полезная мощность батареи равна 8 Вт? Определить наибольшую полезную мощность батареи:

Дано: ε_i = 1,4 В, r_i = 0,3 Ом, Р_п = 8 Вт, n = 5.

Найти: I, Р_{п mах}.

Решение. Полезная мощность батареи P_n=I²R, (1) _Где R —со­противление внешней цепи, I— сила тока, текущего в цепи, которая определяется по закону Ома:

I = (2)

Здесь n, ε_i — ЭДС, а nr_i— внутреннее сопротивление п последова­тельно соединенных элементов.

Выразим R из (1): R=P_n/I²R и, подставив это выражение в (2), получим

(3) или I(nr_i+P_п/I²) = nε_i (4)

Преобразуя выражение (4), получим квадратное уравнение относительно I:

.

Решая квадратное уравнение, найдем

Подставляя числовые значения, получим

Для того чтобы определить наибольшую полезную мощность бата­реи, найдем зависимость ее от внешнего сопротивления. Подставим в уравнение (1) выражение (2):

. (5)

Из этой формулы следует; что при постоянных величинах и мощность является функцией одной переменной - внешнего сопро­тивления R. Известно, что эта функция имеет максимум, если dP_П /dR=0, следовательно, имеем

;или

(6)

Таким образом, задача сводится к отысканию сопротивления внеш­ней цепи. Из решения уравнения (6) следует R = nr_i. Подставляя найденные значения R в формулу (5), имеем

Производя вычисления, найдем

Ответ: I₁ =2,66 А, I₂=2 А, Р_{п max}=8,16 Вт.

6. Определить концентрацию дырок в полупроводнике германия при такой температуре, когда его удельное сопротивление равно 0,5 Ом*м, если подвижности электронов и дырок соответственно равны 0,40 и 0,20 m²/(B*c)

Дано: = 0,5 Ом*м, = 0,40 м² В^-1 *с^-1, = 0,20 м² В^-1 *с^-1,

Найти п.

Решение. Удельная проводимость собственных полупроводников равна

γ = еп(b_п + bр), (1)

где Ь_п и bp — подвижности электронов и дырок соответственно; е — заряд электрона; п — концентрация свободных электронов, т. е. чис­ло их в единице объема. В собственном полупроводнике концентра­ция дырок равна концентрации свободных электронов.

Учитывая, что удельная проводимость и удельное сопротивление связаны между собой зависимостью γ=1/ρ (2) имеем 1/ρ = еп(Ь_п + bp). (3) Определим концентрацию дырок

п=1/(ре(b_п + b_р)).

Подставив числовые значения величин, найдем

Ответ: n=2,08*10¹⁹ м^-3.

7. Какова концентрация одновалентных ионов в воздухе, если при напряженности поля 30 В/м плотность тока j=1,6*10^-6 А/м²? По­движности ионов b₊ = 1,4*10^-4 м²/(В*с),

b_- = 1,2*10^-4 м²/(В*с).

Дано: E=30 В/м, j=1,6.10^-6 А/м², b₊= 1,4*10^-4 м² В^-1*c^-1, b_- = 1,2*10^-4 м² В^-1 *с^-1.

Найти п.

Решение. Плотность тока в газе при отсутствии насыщения

j=Qn(b₊ + b_-)E, (1)

где п — концентрация ионов, т. е. число ионов одного знака в еди­нице объема;

b₊ b_- -подвижности положительных и отрицатель­ных ионов; Е- напряженность электрического поля в газе; Q — аб­солютное значение заряда каждого иона. По условию задачи следу­ет определить концентрацию одновалентных ионов, находящихся в воздухе, т. е. Q=e (е - заряд электрона), тогда

j = en(b₊ + b_-) Е. (2)

Из выражения (2) определим п:

п = j/eE (en(b₊ + b_-)).

Подставив числовые значения, найдем

12,8*10⁵ м^-3.,

Ответ: n=12,8*10⁵ м^-3.