Частотные характеристики звеньев и систем автоматического регулирования

Частотные методы исследования – это методы, применённые и применяемые в устройствах передачи информации: телефонии, радио, телевидении и т.п. Результаты их применения очевидны. Понимая процессы управления как процессы оперирования с информацией и успешность применения частотных методов в проектировании перечисленных информационных средств, очевидна не случайность применения этих методов в вопросах проектирования систем автоматического регулирования и управления.

Как уже отмечалось, представление любого входного сигнала возможно как в виде совокупности ступенчатых или импульсных функций, так и в виде совокупности гармонических составляющих типа . Реакция звена (системы) в этом случае ищется как сумма реакций на каждую из гармонических составляющих сложного входного сигнала.

Для определения таких реакций необходимо знать свойство звена или системы реагировать на гармоники различных частот. Сведения о названных частотных свойствах (частотных характеристиках) можно получить экспериментально и аналитически.

Экспериментальный метод определения частотных характеристик заключается в подаче на вход звена гармонических сигналов различных частот с последующим сравнением их с получаемыми выходными сигналами. Выходные сигналы рассматриваются в установившихся режимах, которые наступают после завершения переходных процессов, обусловленных инерционностью реальных звеньев и систем.

Для экспериментального определения частотных характеристик автоматических систем и их элементов при гармонических воздействиях необходимо располагать источником синусоидальных колебаний с регулируемой частотой. Частотный диапазон, в котором необходимо обеспечивать генерирование синусоидальных колебаний при исследовании большинства современных систем, лежит в пределах (10­^-4÷100)Гц, т.е. охватывает область инфранизких частот.

Для экспериментального исследования объектов могут потребоваться колебания самой различной физической природы. Поэтому в практике исследования систем находят применение генераторы разнообразной конструкции и принципы действия. Однако в основном применятся генераторы электромеханического и электронного типа. Это обусловлено тем, что, как правило, в экспериментальных исследованиях используется измерительная аппаратура электрического типа. Кроме того, указанные генераторы по сравнению с генераторами других систем (например, пневматических или гидравлических) характеризуются наиболее широким частотным диапазоном и имеют хорошие эксплуатационные качества.

В тех случаях, когда по требованиям эксперимента необходимо подавать на вход объекта неэлектрическую величину, а применяемый генератор имеет электрический выход, используют соответствующие преобразователи. В электромеханических генераторах, в которых вращение вала двигателя преобразуется в колебания электрической величины, можно также преобразовать вращение в механические, пневматические и другие неэлектрические колебания. Например, для изменения давления газа по синусоидальному закону можно использовать устройство с воздушным компрессором, перекрываемым заслонкой, связанной с валом двигателя электромеханического генератора через кривошипный механизм или эксцентрик. Аналогичным образом могут быть получены механические линейные или угловые перемещения, также подчиняющиеся синусоидальному закону.

Рассмотрим в качестве примера получение частотных характеристик RC – цепи (рис. 15.1).

Генератор гармонических колебаний

Регистрирующий прибор

U_вх U_вых

Рис.15.1. Схема экспериментального получения частотных характеристик RC – цепи

На вход RC – цепи с помощью электронного генератора гармонических колебаний подаются гармоники различных частот с постоянной амплитудой Uвх = const:

, (15.1)

где i = 1,2…,N, а N – число гармоник различных частот, использованных при проведении эксперимента.

На выходе цепи с течением времени устанавливаются в каждом конкретном случае гармонические колебания тех же частот, но других амплитуд U_выхi и фаз φ_i (рис.15.2):

. (15.2)

В общем случае возможны два видимых измененя любого входного сигнала: по величине, включая и физическую природу, и по отставанию выходного сигнала от входного.

Для гармонического сигнала это заключается в отличии амплитуды выходного сигнала от входного сигнала. Сдвиг по фазе φ_ί между рассматриваемыми сигналами отражает свойство звена задерживать выходной сигнал по отношению к входному.

Таким образом, для гармонического входного сигнала имеется возможность количественно оценить те изменения, который обусловлены собственными свойствами звена (системы): свойство изменять величину гармонических сигналов различных частот количественно характеризуется отношением U _вых /U _вх, называемым амплитудной частотной характеристикой А(ω_i) (АЧХ), а свойство задерживать гармонические сигналы характеризуется функцией φ(ω_ί), называемой фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). Количественная оценка изменений входного сигнала произвольной формы, происходящих за счет прохождения его через звено (систему), гораздо более сложная задача, чем подобная оценка для гармонических сигналов.

Зафиксированные одновременно с помощью регистрирующего прибора (осциллографа или самописца) кривые изменения U_выхi. и U_вх при различных фиксированных частотах ω_ί (рис.15.2) позволяют найти значения А(ω_ί)= _Uвыхi /U _вх и φ (ω_ί) и построить графики АЧХ и ФЧХ (рис.15.3).

U_вх U_выхi Dt

U_вх(t), U_выхi(t) j_i=Dtw_i, w_i =

T i

0 t

Рис.15.2. Графики изменения входного U_вх(t) и выходного U_выхi(t) сигналов при исследовании частотных свойств RC - цепи.

Здесь U_вх, U_выхi – амплитуды входного и выходного сигналов;

T _i, w_i – период и частота сигналов;

Dt - отставание по времени выходного сигнала относительно входного сигнала; j_i - отставание по фазе выходного сигнала относительно входного сигнала.

График АЧХ показывает способность звена «пропускать» сигналы различных частот по амплитуде и представляет собой изменение коэффициента передачи звена по амплитуде в зависимости от частоты входного сигнала. Так, например, если А (ω) ≈ 0, это отражение того, что сигнал на выходе имеет амплитуду U _выхi≈ 0. В этом случае говорят, что звено «не пропускает» входные сигналы с частотой колебаний ω и с частотами более высокими. При частотах меньших ω А (ω) может быть как больше, так и меньше 1. В первом случае говорят об усилении сигнала звеном (системой), во-втором – об ослаблении входного сигнала.

ФЧХ характеризует фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного. Если изменение выходной величины y опережает изменение входной x, то считается, что φ>0, а если изменение y отстает от изменения x, то φ<0. При φ<0 ФЧХ характеризует инерционность звена по частоте. Большой угол соответствует и большой инерционности звена.

АЧХ ФЧХ

A(w) φ(w)

-900

-600

-300

-30

-30

-30

w w

Рис.15.3. Графики А(ω) и φ(ω)

Обобщенный график изменений А (ω) и φ (ω) при изменении ω от 0
до ∞, являющийся годографом вектора А(ω) в полярной системе координат по углу φ (ω), называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой звена или сокращенно АФЧХ.

Возможный вид АФЧХ показан на рис.15.4. Каждая точка кривой АФЧХ соответствует определенной частоте ω_ί и определяется величиной вектора А(ω_i) и полярным углом, равным φ (ω_i). При этом отрицательные значения фазового угла отсчитываются по направлению часовой стрелки, а положительные – против часовой стрелки.

Амплитудно-фазочастотная характеристика отражает как свойство изменять амплитуду входного сигнала, так и свойство задерживать его на каждой частоте на определенную величину φ.

АФЧХ

U(ω)

U(ωί)

jV(ω)

V(ωί)

ωί

j(ωί)

А(ωί)

Рис.15.4. График АФЧХ

Математическим аппаратом, позволяющим отражать в виде математических зависимостей оба указанных свойства, являются функции комплексного переменного. При их использовани АФЧХ рассматривается как комплексное выражение

jargW(jω)

W(jω) = │W(jω)│℮, (15.3)

модуль которого - амплитудно-частотная характеристика

│ W(jω)│= A (ω), (15.4)

а аргумент – фазочастотная характеристика

arg W(jω) = φ(ω), (15.5)

При таком представлении W (jω) возможно как отображение ее в виде графика в полярной системе координат, так и изображение АФЧХ в декартовой системе координат.

В этом случае используется иное представление W (jω) в виде:

W (jω) = U (ω) + j V (ω), (15.6)

где U (ω) и V (ω) – соответственно вещественная и мнимая части W (jω) (рис.15.4)

Наряду с экспериментальным существует аналитический метод получения частотных характеристик.

Рассмотрим его также на примере RC - цепи, уравнение которой имеет вид

T dU _вых (t) / dt + U _вых (t) = U _вх (t). (15.7)