Плоским (прямым) поперечным изгибом балки называется изгиб, при котором все внешние нагрузки действуют в одной из главных плоскостей инерции балки, причем проекции внешних сил и реакций опор на ось балки равны нулю. В этом случае отличны от нуля только две из шести внутренних сил: внутренняя поперечная сила Qy и внутренний изгибающий момент Mz., действующий в этой же плоскости, где приложены внешние силы (рис. 23).
Рис. 23. Внутренние силы в поперечном сечении балки:
поперечная сила Qy (х) и изгибающий момент Mz. (х)
Эти внутренние силы определяются методом сечений из условий статического равновесия части балки, расположенной по одну сторону от рассматриваемого сечения, под действием внешней нагрузки и искомых внутренних сил, действующих со стороны отброшенной части балки. Условия статического равновесия сводятся к двум уравнениям статики: равенстве нулю суммы проекций на ось у всех сил (Σ Y = 0) и равенстве нулю суммы моментов в сечении х всех сил (Σ mx = 0).
Для балки (см. рис 23) поперечная сила Qy (х) и изгибающий момент Mz. (х) определяются из двух уравнений статического равновесия:
|
|
Σ Y = F – q∙a –- Qy (х) = 0,
откуда
Qy (х) = F – q∙a, (2)
(3)
При выполнении условий (2) и (3) все остальные условия статического равновесия удовлетворяются автоматически, т. е. никаких других внутренних сил при плоском изгибе не возникнет.
Из (2) и (3) видим, что внутренняя поперечная сила Qy (х) в сечении x численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Аналогично, внутренний изгибающий момент Mz (х) в сечении х численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних нагрузок, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Для того, чтобы внутренние силы определялись однозначно и независимо от того, равновесие какой части балки рассматривается, вводят правило знаков для Qy (х) и Mz (х).
Если внешняя сила (F, q) стремится повернуть рассматриваемую часть балки относительно центра тяжести сечения x по ходу часовой стрелки, то ее вклад во внутреннюю силу Qy (х) положителен, если против хода часовой стрелки – отрицателен (рис. 24).
Рис. 24. Определение знака поперечной силы Qy (х)
Если внешняя сила (F, q, M) стремится изогнуть часть балки относительно центра тяжести сечения х выпуклостью вниз (сжатое волокно сверху), то ее вклад во внутренний момент Mz (х) положителен; если выпуклостью вверх (сжатое волокно снизу) – отрицателен (рис. 25).
Рис. 25. Определение знака изгибающего момента Mz (х)
Направим ось абсцисс (ox) системы координат слева направо вдоль оси балки. Тогда внутренние усилия Qy (х), Mz (х) в поперечных сечениях и внешняя распределенная нагрузка q будут функциями x. Они связаны дифференциальными соотношениями:
|
|
(4)
(5)
(6)
Здесь q (х) считается положительной, если она направлена вверх. Эти соотношения следует использовать при проверке правильности построения эпюр Qy (х) и Mz (х).
Внутренний изгибающий момент связан с нормальными напряжениями, которые распределяются по высоте сечения неравномерно, вызывая растяжение одной его части и сжатие другой.
Условие прочности по нормальным напряжениям для балки любой формы поперечного сечения имеет вид
(7)
где Mz – изгибающий момент в опасном сечении балки, Н∙м;
Iz – момент инерции поперечного сечения, м4;
y max – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки
поперечного сечения, м.
Для балок, поперечные сечения которых симметричны относительно нейтральной оси z, условие прочности преобразуется к виду
, (8)
где Wz – осевой момент сопротивления поперечного сечения, м3.
На основании соотношений (7), (8) Wz определяется по формуле
Поперечная сила Qy (х), вектор которой лежит в плоскости поперечного сечения, вызывает в точках сечения касательные напряжения τ xy. По закону парности касательных напряжений на продольных площадках возникают равные им напряжения τ yх = τ xy = τ. ..
Напряжения τ xy возникают вследствие деформации среза поперек продольных волокон балки, а напряжения τ yх вызваны деформацией сдвига продольных волокон вдоль балки.
Для балок постоянного поперечного сечения при допущении, что касательные напряжения τ . по ширине сечения b распределены равномерно, касательные напряжения при изгибе определяются по формуле Журавского:
,
где – статический момент относительно оси z отсеченной части сечения;
b –ширина сечения;
Iz –осевой момент инерции сечения.
Интенсивность сдвигающих усилий Т (погонная сдвигающая сила) определяется равенством
.
Касательные напряжения распределяются по сечению неравномерно, достигая максимального значения на нейтральной оси. Как показывают расчеты, в балках, поперечные размеры которых много меньше их длины, касательные напряжения в поперечных сечениях значительно меньше нормальных, поэтому, если балка изготовлена из изотропного материала, то при записи условия прочности касательные напряжения можно не учитывать, именно поэтому σэкв ≈ σ.
6.1.1. Построение эпюр внутренних сил Qy и Mz
Эпюрой внутренней силы называется график ее изменения вдоль оси балки. Из определения внутренней поперечной силы Qy (х) следует, что в том и только в том сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, имеется скачок на эпюре Qy (х) на величину этой силы. Аналогично из определения внутреннего изгибающего момента Mz (х) следует, что в том и только в том сечении, где приложен внешний изгибающий момент, – скачок на эпюре Mz (х) на величину этого момента. Под внешними силами и моментами мы подразумеваем и реакции опор.
При проверке правильности построения эпюр Qy (х) и Mz (х) можно использовать табл. 6, составленную на основании дифференциальных соотношений (4) – (6). В этой таблице указана связь между знаками интенсивности распределенной нагрузки q(x), поперечной силы Qy (х) и характером изменения эпюр Qy (х) и Mz (х).
Таблица 6
Правила построения эпюр Qy (х) и Mz (х), основанные
на дифференциальных зависимостях между q, Qy (х), Mz (х)
Распреде-ленная нагрузка q, кН/м | Поперечная сила Qy, кН | Изгибающий момент Mz, кН∙м |
q=0 | Поперечная сила постоянна | Изгибающий момент изменяется по линейному закону |
Момент постоянный ______ | ||
+ | Момент возрастает | |
_ | Момент убывает | |
q >0 | Поперечная сила возрастает по линейному закону | Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вниз |
Момент принимает экстремальное значение M min | ||
+ | Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вниз | |
_ | Момент убывает по закону параболы, выпуклость вниз | |
q < 0 | Поперечная сила убывает по линейному закону | Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вверх |
Момент принимает экстремальное значение M max | ||
+ | Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вверх | |
_ | Момент убывает по закону параболы, выпуклость вверх |
|
|