Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
Определение. Выражение называют числовым рядом, или просто рядом, а сами числа - членами ряда.
Числовой ряд будем обозначать .
Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n: .
Определение. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается , т.е.
Рассмотрим частичные суммы:
,…,
Определение. Если последовательность имеет конечный предел: , то говорят, что ряд сходится. В этом случае, предел называют суммой ряда и пишут: .
Ряд расходится, если последовательность не имеет предела или он равен . Если , то говорят, что сумма ряда равна , и пишут: .
Пример. Показать, что числовой ряд расходится.
Решение. Запишем n -ю частичную сумму ряда. Имеем
Тогда при имеем . Следовательно, ряд расходится, и считается,что его сумма равна .
Пример. Показать, что ряд сходится.
Решение. Частичные суммы ряда имеют вид: , , …, . Вычислим сумму ряда: , т.е. ряд сходится, и его сумма равна 1.
|
|
Пример. Исследовать на сходимость ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию: = .
Решение. Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле . Найдем предел этой суммы: .
В зависимости от величины q имеем:
1) если , то при . Поэтому , ряд сходится, его сумма равна ;
2) если , то при . Поэтому , ряд расходится;
3) если , то при ряд принимает вид ,
для него и , т.е. он расходится;
при ряд принимает вид , в этом случае при четном n и при нечетном n. Следовательно, не существует, ряд расходится.
Таким образом, ряд сходится при и расходится при . Такой ряд будем называть рядом геометрической прогрессии.