2015-04-01
6821
Мы уже отмечали, что условия, при выполнении которых функция 
является аналитической, достаточно жесткие. Это и обуславливает справедливость следующей теоремы.
Теорема 2 (Теорема Коши). Если 
- односвязная область комплексной плоскости и - однозначная аналитическая в этой области функция, то для любой замкнутой спрямляемой кривой 
, лежащей в области , интеграл от вдоль равен нулю: 
.
Отметим, что теорема Коши остается справедливой и для многосвязной области.
Из теоремы 2 вытекает, что интегралы от аналитической функции вдоль любых двух кривых 
и 
с общим началом 
и концом 
имеют равные значения.
В самом деле, кривая 
является замкнутой, и, следовательно,
откуда
Это означает, что интеграл от функции , аналитической в односвязной области , не зависит от кривой (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек этой кривой. Поэтому для интеграла вдоль произвольной спрямляемой кривой , соединяющей точки и , можно пользоваться обозначением 
.
Рассмотрим интеграл от аналитической функции, если конечная точка – переменная, т.е. есть некоторая функция от верхнего предела:
Можно показать, что 
- аналитическая функция, и что ее производная равна . Таким образом, интеграл является первообразной для подынтегральной функции (определение первообразной аналитической функции аналогично определению первообразной функции действительной переменной).
И это позволяет сделать вывод о справедливости формулы Ньютона-Лейбница:
,
здесь - одна из первообразных функции , (
).
Этот результат позволяет сводить вычисление интеграла от аналитической функции к отысканию какой-либо первообразной функции и, следовательно, использовать известные формулы и методы интегрирования функций действительной переменной. В частности, если и 
аналитические функции, то будет справедлива формула интегрирования по частям:
.
Пример. Вычислить интеграл 
Решение. Подынтегральная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, поэтому для нее существует первообразная. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. Подынтегральная функция является аналитической, поэтому воспользуемся формулой интегрирования по частям:
= 
=
= 
Аналитические функции комплексного переменного обладают следующим замечательным свойством:
Теорема 3. (Интегральная формула Коши) Если - внутренняя точка односвязной области , ограниченной замкнутым контуром , - аналитическая в замкнутой области функция, то справедлива формула:
Иными словами, если мы знаем значение аналитической функции на границе односвязной области, то мы можем найти значение этой функции в любой внутренней точке области.
Более того, справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если однозначная функция комплексного переменного имеет всюду в области первую производную, то она имеет в этой области и все производные высших порядков, которые могут быть найдены по формуле:
Интегральную формулу Коши и формулу для производных высших порядков можно использовать для вычисления интегралов по замкнутому контуру.
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. Рассмотрим подынтегральную функцию 
. Аналитичность этой функции нарушается в точках: 
(точки, в которых знаменатель равен 0). Контур, по которому вычисляется интеграл: 
, есть окружность с центром в точке 
и радиусом 3. Внутри этого контура лежит точка 
, поэтому внутри контура подынтегральная функция не является аналитической. Запишем эту функцию в виде: 
. Тогда функция 
является аналитической внутри замкнутого контура. Воспользуемся интегральной формулой Коши:
.
Пример. Вычислить интеграл 
.
Решение. Аналитичность подынтегральной функции нарушается в точках 
. Внутри контура есть только одна из них: 
. Преобразуем подынтегральную функцию к виду:
.
Функция - аналитическая внутри контура, поэтому можно применить теорему 4 (в данном случае 
):
