Обобщённый метод наименьших квадратов

Обобщим КЛММР вида (3.1). Пусть как и раньше имеются выборочные наблюдения над переменными и , . Построим регрессию

. (4.3)

Откажемся от предположения КЛММР о некоррелированности и гомоскедастичности случайной ошибки (3.3), т.е. относительно переменных модели в уравнении (4.3) примем следующие основные гипотезы:

. (4.4)

(4.5)

- неслучайные величины. (4.6)

Не должно существовать строгой линейной

зависимости между переменными (4.7)

Суть гипотезы (4.5) в том, что все случайные ошибки имеют непостоянную дисперсию, т.е. не выполняется условие гомоскедастичности дисперсии - имеет место так называемая гетероскедастичность дисперсии ошибок. Кроме того, ковариации остатков могут быть произвольными И отличными от нуля (вторая строчка соотношения (4.5).

Модель вида (4.3)-(4-7) называется обобщённой линейной моделью множественной регрессии (ОЛММР). Отличие ОЛММР от КЛММР состоит в изменении предположений о поведении случайной ошибки (4.5).

К ОЛММР может быть применен метод наименьших квадратов, однако (3.6) оказывается неприменимой к модели (4.3)-(4-7) в силу потери свойства оптимальности оценок. Но МНК к ОЛММР может быть применен.

Критерий минимизации суммы квадратов ошибок МНК силу условия (4.5) заменяется на другой - минимизация обобщенной суммы квадратов отклонений (с учетом ненулевых ковариаций случайной ошибки для разных наблюдений и непостоянной дисперсии ошибки) и соответственно усложняется вид системы уравнений для определения оценок коэффициентов по сравнению с системой (3.6) для МНК. После решения полученной системы линейных алгебраических уравнений получим линейные несмещенные оценки коэффициентов ОЛММР, которые будут эффективными. Указанный метод получения оценок называется обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК) или методом Айткена.

Обозначим

Тогда модель (4.3)-(4.7) запишется в матричном виде:

при условиях

- не из случайных чисел;

Оценки МНК получаются по формуле . Оценки ОМИК получаются по формуле

Следует подчеркнуть, что для применения ОМНК в (4.5) необходимо знать значения в правой части равенства (в частности элементы матрицы ), что на практике случается крайне редко. Поэтому каким-либо способом оценивают величины А затем используют эти оценки в расчетах коэффициентов модели. Этот подход составляет суть так называемого доступного обобщённого метода наименьших квадратов.