Комплексные числа. Комплексными числами называются числа вида

Комплексными числами называются числа вида:

,

где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица (i ² = -1).

Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа:

Число называется комплексно сопряженным числу z.

Комплексное число может быть представлено точкой на плоскости xy (рис. 1.1).

Рисунок 1.1 – Геометрическое представление комплексного числа

Длина радиус-вектора точки, изображающей комплексное число на плоскости xy, называется модулем комплексного числа:

,

а угол φ между радиус-вектором и осью Ox – аргументом комплексного числа:

.

Видно, что:

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

.

В математике доказывается соотношение:

, (1.1)

которое называется теоремой Эйлера.

Заменив φ на –φ, получим:

. (1.2)

Из (1.1) и (1.2) следует, что:

,

.

Используя теорему Эйлера, комплексное число можно записать в показательной форме:

Основные операции с комплексными числами: