Даундэйтинг документов

Также, как и даундэйтинг терма, даундэйтинг документа ведет к удалению документа (ряда) из существующих векторов документов в V_k. Вследствие этого редуцированная матрица А_k представляется как

А_k = [z `А_k] = U_k å_k V_k^T , (24)

где z - первая колонка в матрице А_k должна быть обновлена удалением. Так как каждый столбец можно переместить так, чтобы он стал первым в матрице, описанная процедура может применяться для даундэйтинга любого документа. Также, как и для даундэйтинга термов, определим ε₁ как столбец размером n x 1, заполненный нулями, кроме первого элемента, значение которого равно 1 и определим как ортогональную матрицу размерностью n x (k + 1) в виде

= [V_k | s], (25)

где вектор s размерностью n x 1 ортогонален V_k (то есть V^Т_k s = 0). Тогда

(26)

Первый ряд правой части выражения (30) обозначим как W. Он составлен из первого ряда V_k и первого элемента из s за ним. Заметим, что матрица W^Т имеет тот же вид, что и матрица Н для даундэйтинга термов. Используя вытесняющую ненулевые значения схему, основанную на преобразовании Гивенса, которая описана выше, получим:

(27)

где `В – верхняя двух-диагональная матрица размерностью k x k. Доказано, что сингулярные значения матрицы `В те же, что и в матрице А_k из выражения (28). Если G_l и G_r являются ортогональными матрицами размерностью (k + 1) х (k + 1), сконструированных с помощью преобразования Гивенса так, что

и далее получим:

. (28)

Также, как и в выражении (13), второй ряд выражения (21) есть обновленный удалением А_k, данная как

(29)

`В в этом случае, однако, нижняя бидиагональная матрица. Применение метода диагонализации Голуб-Кахана к `В^Т дает следующее:

G_l`В<sup>Т</sup> G<sub>r</sub> = G<sub>r</sub>`В^Т G_l^T = U_B^T `В V_B = å_k (30)

где сингулярные значения `В являются диагональными элементами å_В. Комбинируя выражение 22 и 23 получим:

(31)

где