2015-04-01
725
Число b называется пределом функции f(x) при x, стремящийся к a (x ® a), если, по мере приближения x к a, значение функции неограниченно приближается (стремится) к b:
.
! Пример: Функция f(x) = 2x + 3 при x, стремящийся к a, f(x) стремится к 3, т.е. 
.
Более строгое определение предела следующее.
Число b называется пределом функции f(x) при x ® a, если абсолютное значение разности f(x) – b остается меньшим любого заранее данного положительного числа e всякий раз, как абсолютное значение разности x – a меньше некоторого положительного числа d (зависящего от e).
Предполагается, что функция f(x) определена внутри некоторого промежутка, содержащего точку x = a (во всех точках справа и слева от a), в самой же точке x = a f(x) либо определена, либо нет.
Если какая-либо функция не определена в точке x = a, но обладает пределом при x ® a, то разыскивание этого предела называется раскрытием неопределенности. Раскрытие неопределенности вида 
называют разыскивание предела отношения функций f(x) и g(x), бесконечно малых величины при x ® a.
|
|
|
@ Задача 3. Найти предел функции 
при 
.
Решение: Мы имеем дело с неопределенностью вида . Разложив квадратичные трехчлены числителя и знаменателя в множители, и применив свойства пределов, находим предел функции f(x):
.
@ Задача 4. Найти предел функции 
при x ® ¥.
Решение: Мы имеем дело с неопределенностью типа ¥ – ¥.
.
Замечательные пределы
Первым замечательным пределом называется предел
.
Вторым замечательным пределом называется предел
или 
.
@ Задача 5. Найти предел функции 
при x ® 0.
Решение: Предел находится применением первого замечательного предела и свойств пределов:
.
@ Задача 6. Найти предел функции 
при x ® 0.
Решение: Предел находится применением второго замечательного предела:
,
где z = 2x.
Множество применений имеют также следующие пределы
; 
; 
.
