Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
y′′ + py′ + qy = f(x),
где p и q – постоянные коэффициенты, f(x) - правая часть уравнения, имеющая специальный вид.
Общее решение дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения y общсоответствующего однородного уравнения и частного решения y чнеоднородного уравнения.
Рассмотрим случай, когда f(x) имеет специальный вид f(x) = Pn(x) , где Pn(x) – многочлен степени n, a – действительное число. В этом случае частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется как
y ч = xrQn(x) ,
где r – число равное кратности a как корня характеристического уравнения k ² + pk + q = 0, Qn(x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, которые нужно найти.
@ Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения: .
Решение: Сначала находим общее решение однородного дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение k² + 1 = 0 имеет корни i и – i. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид yобщ = c1cosx + c2sinx. Корни характеристического уравнения не совпадает с a = 1, поэтому r = 0. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде yч = (Ax + B) . Для нахождения A и B это решение подставляется в неоднородное дифференциальное уравнение. Ax + 2A + B + Ax + B = 4x, откуда A = 2, B = – 2. Частное решение имеет вид yч = 2(x – 1)ex. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно
|
|
y = c1cosx + c2sinx + 2(x – 1) ex.
Рассмотрим случай, когда f(x) = (Pn(x)cos β x + Qm(x)sin β x), где Pn(x) и Qm(x) – многочлены степени n и m, α и β - действительные числа. В этом случае частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде
y ч = xr (M(x)cos β x + N(x)sin β x),
где M(x) и N(x) многочлены степени max(m, n).
§3.9. Числовые ряды
Числовые ряды
Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел (1),
где - общий член ряда.
Конечная сумма чисел называется частичной суммой ряда.
Если S n стремится к конечному пределу S, то говорят, что ряд сходится, а предел называется суммой ряда. Если предел ряда не существует или , то говорят, что ряд расходится.
! Пример: Числовой ряд сходится и сумма равна S = 1. Ряд с an = n расходится. Ряд с an = (– 1)n тоже расходится.