2015-04-01
982
Уравнение P(x; y)dx + Q(x; y)dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x; y), что имеет место при выполнении условия 
. (6)
Если левая часть дифференциального уравнения представить в виде полного дифференциала, то получим 
, 
. Интегрируем первое уравнение: 
. Применяя второе уравнения, получим уравнение для неизвестной j(y): 
, откуда можно найти j(y):
.
В итоге общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах имеет вид
.
@ Задача 5. Найти общее решение дифференциального уравнения (2xy – 5)dx + (3y ² + x ² )dy = 0.
Решение: Проверим выполнение условия (6): 2x = 2x. Подставим P(x; y) = 2xy – 5 и Q(x; y) = 3y ² + x ² в общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: 
=
= 
, x ² y – 5x + y ³ = c.
Правило: Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения, интегрируем 
при постоянном значении y, интегрируем 
при постоянном x и объединяем эти выражения, сохраняя повторяющие члены только один раз.
