Основные понятия и определения. 1.1. Основные понятия и определения

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

1. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ................................................................................. 2

1.1. Основные понятия и определения................................................... 2

1.2. Классификация систем..................................................................... 5

2. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ............................................................................................ 7

2.1. Случайная величина........................................................................ 7

2.2. Плотность распределения.............................................................. 10

2.3. Числовые характеристики случайных величин............................ 11

3. МАРКОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС....................................... 19

3.1. Основные понятия марковских процессов.................................... 19

3.2. Марковские цепи............................................................................ 21

3.3. Непрерывные цепи Маркова......................................................... 25

3.4. Финальные вероятности состояний............................................... 27

3.5. Поток событий. Простейший поток и его свойства...................... 30

3.6. Процесс гибели и размножения..................................................... 33

3.7. Циклический процесс..................................................................... 40

4. КОМПОНЕНТЫ И КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ................................................................................... 42

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ................................................................................... 47

5.1. Одноканальная модель СМО с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания 47

5.2. Одноканальная модель СМО с ожиданием.................................. 50

5.3. Многоканальная модель СМО с отказами.................................... 55

5.4. Многоканальная модель СМО с ожиданием............................... 59

5.5. Модель СМО с ограниченным временем ожидания.................... 64

5.6. Модель замкнутой СМО................................................................ 66

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ 73

7. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ........................................ 78

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

Основные понятия и определения

Системный анализ (СА) – совокупность методологических средств, используемых для подготовки и обоснования решений по сложным проблемам политического, военного, социального, экономического научного и технического характера. Опирается на системный подход, а также на ряд математических дисциплин и современных методов управления. Основная процедура – построение обобщенной модели, отображающей взаимосвязи реальной ситуации.

Системный подход (СП) – направление методологии научного познания и социальной практики, в основе которого лежит рассмотрение объектов как систем. СП ориентирует исследователей на раскрытие целостности объекта, на выявление многообразных типов связей в нем и сведение их в единую теоретическую картину.

Множество – это совокупность наблюдаемых или мысленных объектов – элементов множества. По количеству элементов различают множества конечные и бесконечные. Если X – элемент множества M, то XÎM. Два множества M и N эквивалентны, если каждому элементу множества M точно соответствует элемент множества N и наоборот. Если все элементы множества N содержатся в M, то N – подмножество M, N Ì M. Совокупность всех не принадлежащих N элементов M называется дополнением множества N. Объединение M È N – это множество, все элементы которого принадлежат либо M, либо N. Пересечение MÇN содержит все элементы как M, так и N [Х-1].

Система (от греческого sýstëma – целое, составленное из частей, соединение):

· множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, образующих определенную целостность, единство;

· совокупность, образованную и упорядоченную по определенным правилам из конечного множества элементов.

Между элементами системы существуют определенные отношения.

Возможно существование систем, включающие изолированные элементы или группы элементов, которые не имеют отношений с другими элементами системы.

Элемент и система – понятия относительные. Элемент одновременно может являться системой меньших (более низкого уровня) элементов. Система в свою очередь может быть элементом некоторой большей системы.

Пример. Автомобиль – система, состоящая из элементов. В то же время автомобиль представляет собой элемент автотранспортного предприятия.

Система может быть разделена на элементы различной сложности.

Система может рассматриваться с различных точек зрения. Например, при конструировании автомобилей не рассматриваются молекулы или атомы. Самым нижним уровнем рассмотрения в этом случае являются детали, каждая из которых в свою очередь может рассматриваться как система геометрических тел более простой формы. В отличие от конструктора материаловед рассматривает материал детали как систему, состоящую из элементов-молекул.

Понятие системы находится в одном ряду с такими понятиями, как назначение, поведение, структура, окружение, вход, выход, свойство, состояние.

Всякая искусственная система имеет определенное назначение, которое может быть описано системой целей. Цель – это некоторое (возможно, воображаемое) положение дел, к осуществлению которого стремятся. Тогда система целей может быть определена как множество целей и отношений между ними. Подцель может конкретизировать цель. Часто подцель является средством достижения цели.

Поведение может быть определено как множество последовательных во времени состояний системы. Для некоторых типов систем (таких, как система понятий и целей) понятие поведения не имеет смысла. Целью создания искусственных систем является вполне определенное их поведение. Целенаправленное поведение системы называют функцией. Под функцией понимают некоторую стабильную способность к определенным действиям, что обеспечивается лишь правильным поведение системы, так как, вообще говоря, система может функционировать и неправильно. Термин «функционирование» применяется в связи с желательным действием.

Понятие структуры характеризует внутреннюю организацию, порядок и построение системы. Структура – это совокупность элементов и отношений между ними. Один и тот же объект может быть определен несколькими системами и, следовательно, несколькими структурами. Так, например, в автомобиле можно выделить систему питания, систему зажигания, трансмиссию, тормозную систему и т. д. Каждая из этих систем имеет определенную структуру деталей и связей между ними.

Структура наряду с функционированием является наиболее важным свойством системы.

Функционирование системы задается ее структурой. Относительно замкнутая система с заданной структурой функционирует однозначно, то есть ее структура полностью определяет способ функционирования. С другой стороны, функционирование не определяет структуру однозначно. Одна и та же функция может быть реализована различными структурами.

Окружение системы теоретически включает все, что не входит в данную систему. Практически же ограничиваются окружением, состоящим из систем, включающих хотя бы один элемент, выход которого является в то же время входом некоторого элемента системы, либо элемент, вход которого является одновременно выходом некоторого элемента системы. Такое окружение называют реальным окружением. Полное окружение системы включает следующие составные части: геосфера, атмосфера, биосфера, техносфера и астросфера.

Вход представляет внешнее отношение «Окружающая среда ® система». Входная величина может быть зависимости от вида системы действием, связью (отношением) или параметром состояния объекта действия. Совокупность всех входов составляет обобщенный вход, который может быть представлен как вектор отдельных входов.

Выход представляет внешнее отношение «Система ® окружающая среда». Выходная величина может быть зависимости от вида системы действием, связью или параметром состояния объекта действия. Совокупность всех выходов составляет обобщенный выход, который может быть представлен как вектор отдельных выходов.

Входная и выходная величины являются единственными связями системы с окружающей средой. Входы и выходы системы включаю все виды связей с окружающей средой: желательные и нежелательные, связи материального, энергетического и информационного характера.

Каждая система, ее элементы и отношения обладают свойствами, присущими этой системе и точно ее определяющими, такими как размеры, масса, скорость, форма, стабильность, технологичность, транспортабельность, способность функционировать. Свойством является всякий существенный признак объекта. Объектов без свойств не существует.

Для характеристики объекта при его оценке выбирают существенные свойства. При этом возможна частная, обобщенная и совокупная оценка. Совокупная оценка свойств представляет собой качество.

Совокупность значений показателей свойств системы в определенный момент времени называют состоянием системы. Состояние системы характеризуют вектором, компонентами которого являются показатели отдельных свойств. При определении качества или состояния абстрагируются от большей части несущественных или не представляющих интереса свойств системы.

Два состояния системы могут быть одинаковыми или различными. Различие между состояниями называют разностью. Разность возникает при переходе системы из одного состояния в другое. Разность может быть непрерывной или дискретной.

Модель - это искусственный объект, воспроизводящий основные свойства изучаемого оригинала. Аппроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов. Модели разделяются на материальные и абстрактные. Наиболее распространенный вид абстрактных моделей – математические модели. На рис. 1.1 представлено графическое изображение обобщенной модели системы.