Плотность распределения

Функция распределения дискретной и непрерывной случайных величин является ее вероятностной характеристикой. Однако для непрерывной случайной величины более наглядное представление о характере ее распределения в окрестности различных точек дает функция, называемая плотностью распределения вероятности, или дифференциальным законом распределения случайной величины.

Плотностью распределения случайной величины в точке x является предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от x до x + D x к длине его, когда D x стремится к нулю

.

Считая функцию распределения F(x) дифференцируемой и перейдя к пределу, получим

.

т. е. плотность f(x) равна производной от функции распределения F(x).

Плотность распределения f(x) указывает на то, как часто появляется случайная величина X в некоторой окрестности точки x при многократном повторении опытов.

Кривая, изображающая плотность распределения f(x) случайной величины, называется кривой распределения (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Кривые плотности распределения непрерывной случайной величины

Как и функция распределения, плотность распределения - одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения плотность не универсальна, так как она существует только для непрерывных случайных величин.

Основные свойства плотности распределения случайной величины следующие:

· плотность распределения – неотрицательная функция, т. е. кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

· интеграл в бесконечных пределах от плотности распре­деления равен единице, т. е. площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.