Speech exercises. Чтобы вывести уравнение кривой, мы устанавливаем в трехмерном пространстве левую ортогональную декартову координатную систему

I. Say it in English:

Чтобы вывести уравнение кривой, мы устанавливаем в трехмерном пространстве левую ортогональную декартову координатную систему. Эта система имеет одинаковую единицу расстояния для всех трех осей. Любая точка этой системы имеет три координаты. Кривую можно описать как траекторию точки, движущуюся с одной степенью свободы.

Давайте определим действительную собственную аналитическую пространственную кривую. Пусть координаты x, y, z точки Р даются как однозначные действительные аналитические функции действительной переменной t на интервале Т оси t. Уравнения этих координат следующие: x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти уравнения называются параметрическими уравнениями кривой. Они могут быть линейными формы (вида) x = a +lt, y = b + mt, z = c + nt. В этом случае кривая – прямая линия. Кривая может быть представлена аналитически явными и неявными параметрическими уравнениями.

II. Read the text and reproduce it:

THEORY OF CURVES IN EUCLIDEAN SPACE

By a curve we understand a connected set of points c such that for any point P of C lying in U can be represented as a portion of a curve. The parameter of a portion of a curve can be chosen arbitrary; if T is a parameter, we obtain any other parameter t΄ by means of a parameter transformation t΄ = φ (t) where the function φ (t) is continuosly differentiable sufficiently often and its derivative is never zero. Of importance are only the geometrical properties of the curve that are independent of the special choice of the parameter, and not the analytical form of the representation.

A curve can also be given by an implicit representation by means of two independent equations of the form g (x₁, x₂, x₃) = 0, h (x₁, x₂, x₃) = 0 that is geometrically as the intersection of two surfaces g = 0, h = 0. One of the simplest space curves is the cubic helix, which can be represented in the form x (t) = a (c₁ cos t + c₂ sin t) btc₃ a acrew is a circular helix where 2a is the diameter and 2πb the pitch of the screw.

T E X T VII

SURFACES