Среди процессов, происходящих с газами, часто встречается и очень важен адиабатический процесс, протекающий без передачи тепла. Чтобы получить его уравнение, воспользуемся первым началом термодинамики. Его формулировка: теплота, сообщаемая системе (газу), идет на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними силами (против действия внешних сил)
.
Для записи передаваемого тепла удобно ввести понятие теплоемкости - это величина, равная количеству теплоты, которую надо сообщить системе, чтобы повысить ее температуру на 1 К. Далее этим символом будем обозначать молярную теплоемкость, относящуюся к 1 молю вещества.
Величина теплоемкости зависит от способа, которым системе сообщается тепло. Процессы с постоянной теплоемкостью называются политропическими. Одним из таких процессов является процесс нагревания идеального газа при постоянном объеме (изохорический процесс). Молярная теплоемкость такого процесса обозначается .
Так как работа, совершаемая газом при увеличении его объема на dV равна , то при изохорическом процессе работа газом не совершается, т.е. и
|
|
.
Отсюда, изменение внутренней энергии одного моля идеального газа будет , а для произвольной массы m газа .
Тогда первое начало термодинамики для идеального газа можно записать в виде:
. (1)
Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарическим, а молярная теплоемкость для такого процесса обозначается СР . Найдем связь между теплоемкостями для упомянутых процессов. Для этого нам понадобится уравнение состояния для одного моля идеального газа
, (2)
где R - универсальная газовая постоянная. Отсюда, при p=const, находим, что , а из уравнения (1) имеем
. (3)
Эта связь молярных теплоемкостей называется уравнением Майера.
Теперь рассмотрим адиабатический процесс, для которого , и первое начало термодинамики (1) для одного моля идеального газа запишется в виде:
. (4)
В уравнении состояния (2) для одного моля идеального газа меняются все термодинамические параметры, p, V, и T. Вычисляя дифференциал, получим . Подставляя это выражение в уравнение (4), находим, что .
Отношение называется показателем адиабаты. В последнем полученном уравнении разделим переменные и проинтегрируем: .
Отсюда . Отсюда получаем уравнение адиабатического процесса для идеального газа или уравнение Пуассона: . (5)
Используя уравнение состояния (2) можно записать уравнение Пуассона через другие термодинамические переменные: или . (6)
Идеальный газ – это совокупность не взаимодействующих друг с другом на расстоянии молекул. Такие молекулы к тому же не деформируются, т.е. имеют постоянную форму и очень малый размер. Размером одноатомной молекулы вообще пренебрегают, считая ее материальной точкой, способной двигаться в трех независимых направлениях, т.е. имеющей i = 3 степени свободы. Двухатомные и многоатомные молекулы имеют дополнительные вращательные степени свободы, показанные на рис. 1.
|
|
Внутренняя энергия идеального газа складывается только из кинетической энергии его молекул. Скорости молекул такого газа различны, но подчиняются распределению Максвелла. С его помощью можно вычислить среднюю энергию, приходящуюся на 1 степень свободы молекулы: , где - постоянная Больцмана, R - универсальная газовая постоянная, - число Авогадро. Тогда средняя энергия одной молекулы с i степенями свободы равна , а так как 1 моль газа содержит молекул, то его внутренняя энергия .
Сравнивая с термодинамической формулой , находим, что идеальный газ из молекул с i степенями свободы имеет молярные теплоемкости ; , и показатель адиабаты
. (7)
Для одноатомного газа =1,667, для двухатомного - =1,40, для многоатомного - = 1,333.
Воздух является смесью многих газов - двухатомных N 2 , O 2 ,…, трехатомных - СО 2, Н 2 О и т.п. Так как доля многоатомных и одноатомных газов в нем мала, то можно ожидать, что величина для воздуха будет близка к соответствующему значению для двухатомных газов: .
Для экспериментального определения показателя адиабаты воздуха используется установка, изображенная на рис.2. Она состоит из большого стеклянного баллона Б, соединенного через кран К с насосом Н или атмосферой. Манометр М служит для измерения разностей давлений газа в баллоне и в атмосфере. В условиях эксперимента воздух можно считать идеальным газом.
Повернем кран К в положение I, соединяя баллон с насосом, и начнем накачивать воздух в баллон. Так как этот процесс происходит достаточно медленно, то за счет теплообмена через стеклянные стенки баллона успевает установиться тепловое равновесие. Температура воздуха внутри баллона после накачивания будет равна комнатной температуре Т1 . Но давление внутри возрастет до величины
, (8)
где p0 - давление воздуха в окружающей атмосфере, а - разность гидростатических давлений жидкости с плотностью в левой и правой трубках U - образного манометра (рис. 2).
Вытащим теперь трубку крана К, соединяя баллон с атмосферой. Воздух очень быстро выходит через отверстие, расширяясь, теплообмен не успевает произойти и процесс можно считать адиабатическим. В соответствии с уравнением (3-6) при резком уменьшении давления уменьшится и температура: воздух в баллоне будет охлажден до температуры ниже комнатной!
В момент, когда давление воздуха в сосуде сравнивается с атмосферным (, выравниваются уровни жидкости в манометре), пробка крана плотно закрывает баллон в положении II (рис. 2). За счет теплообмена через стенки закрытого баллона начинается изохорическое нагревание охлажденного воздуха в нем. При этом давление в баллоне растет и уровни жидкости в манометре постепенно расходятся до тех пор, пока температура внутри баллона не станет равной комнатной: Т2 = Т1 . В этот момент давление воздуха в баллоне установится на величине
. (9)
Процессы, протекающие в системе, изображены на рис. 3. В момент окончания адиабатного расширения в баллоне останется часть воздуха с массой m1 , занимавшая первоначально объем V1, меньший объема баллона V Б .
Запишем для этой части уравнения адиабатического (6) и изохорического процессов:
и
, а затем устраним неизвестное отношение температур:
. (10)
Логарифмируя последнее уравнение (10), получим
, откуда . (11)
Подставляем сюда формулы (8) и (9):
. (12)
Но уровни жидкости (воды с плотностью = 1000 кг/м3) раздвигаются в манометре М на рис. 2 всего на см, и избыточное давление газа Па много меньше атмосферного давления Па. Поэтому величина , и в формуле (12) можно разложить все логарифмы в ряд, оставляя слагаемые только первого порядка малости: Тогда из формулы (12) получаем конечную формулу для вычисления показателя адиабаты:
|
|
. (13)
Такой показатель позволяет описать многие свойства исследуемого газа, но точность его определения в данном эксперименте не слишком высока, и поэтому возникают отклонения от теоретически ожидаемого значения . Это связано не только с тем, что свойства реального воздуха немного отличаются от свойств идеального газа и состоит он не только из двухатомных молекул, но, главным образом - с несовершенством используемого оборудования. При установке пробки крана К в положение II (рис.2) остаются крохотные щели, и воздух понемногу продолжает вытекать из баллона при нагревании. Поэтому уровень h2 оказывается немного меньшим того уровня, который установился бы при идеально закрытом баллоне. Величина , измеренная в такой установке, в соответствии с формулой (13) тоже окажется немного меньшей, чем истинная.
Оборудование: стеклянный баллон, кран, насос, манометр.
Рабочее задание: рассчитать показатель адиабаты воздуха.