2015-04-06
302
Значительную роль при исследовании случайных процессов играют их числовые характеристики (или различные усредненные значения). Данные характеристики в отличие от характеристик случайных величин будут не числа, а функции. Так для всякого сечения случайного процесса X 1 =X (t 1), как и для случайной величины, можно указать его математическое ожидание[5]:
M { X 1}= 
x·w 1(x, t 1) d x. (9)
Оно определяет среднее значение процесса X (t) в текущий момент времени t; усреднение проводится по всему ансамблю реализаций процесса. Здесь w 1(x, t 1) – одномерная плотность распределения вероятностей случайного процесса в момент времени t 1.
Дисперсия
D { X 1}= 
= 
(x – 
)2 ·w 1(x, t 1) d x,(10)
позволяет судить о степени разброса мгновенных значений, принимаемых отдельными реализациями в фиксированном сечении t, относительно среднего значения.
Если математическое ожидание M { X (t 1)}=0, то дисперсия совпадает с математическим ожиданием квадрата случайного процесса
D { X 1}= M [{ X (t 1)}2](11)
Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса характеризуют поведение случайного процесса лишь в отдельные моменты времени. Для определения взаимосвязи изменений случайного процесса в различные моменты времени используют моментную функцию корреляции, которая характеризует степень статистической связи между сечениями процесса x 1= x (t 1) и x 2= x (t 2) в моменты времени t 1 и t 2 и определяется как математическое ожидание произведения этих сечений:
|
|
|
BX (t 1, t 2)= 
(x 1 - 
)(x 2 - 
) ·w 2(x 1, x 2; t 1, t 2) d x 1 d x 2 . (12)
Сравнивая выражения для функции корреляции и дисперсии, видим, что при t1 = t2 = t
BX (t 1, t 2) = D { X 1}.
Выводы 1. Случайный процесс характеризуется совокупностью своих сечений. Каждое сечение как случайная величина характеризируется двумя законами распределения – интегральным и дифференциальным.
2. Важнейшими характеристиками сигналов и помех, как случайных процессов, являются числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия и функция корреляция.
