Решение статистических игр по различным критериям

Нередко при решении экономических задач возникает необходимость выбора оптимального решения в условиях не­определенности и риска. Такие ситуации назы­ваются играми с природой (иногда статистическими игра­ми). Термин «природа» характеризует некоторую объективную действительность, которая выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбираю­щий очередные ходы партнер по игре. Природа безразлична к выигрышу.

Сторона, принимающая решение (игрок А или статис­тик), имеет т стратегий: А₁, А₂,..., А_m. Природа может реализовать п возможных состояний: П₁, П₂,..., П_n. Поскольку при­рода не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить с помощью вы­игрышей a_ij игрока А для каждой пары стратегий А_i и П_j. Все показатели игры записываются в виде платежной матрицы:

.

Часто построение платежной матрицы является наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. При анализе игры с природой вводится также показа­тель, позволяющий оценить, насколько то или иное состоя­ние природы влияет на исход ситуации. Этот показатель на­зывается риском.

Риском r_ij статистика, когда он пользуется чистой стра­тегией А_i при состоянии П_j природы, называется разность между максимальным выигрышем , который он мог бы получить, достоверно зная, что природой будет реализо­вано именно состояние П_j, и тем выигрышем a_ij, который он получит, используя стратегию А_i, не зная, какое из состоя­ний П_j природа действительно реализует. То есть элементы матрицы рисков определяются по формуле

(7.8)

Применяется две группы критериев — использующих и не использующих априорные вероятности q_j состояний при­роды. К первой группе относятся критерии Байеса и Лапла­са.

В качестве оптимальной по критерию Байеса принимает­ся чистая стратегия А_i, при которой максимизируется сред­ний выигрыш статистика

, (7.9)

то есть обеспечивается . (7.10)

Если статистику представляются в равной мере правдо­подобными все состояния П_j природы, то и оптимальной по критерию Лапласа считается чистая стра­тегия А_i, обеспечивающая

. (7.11)

Ко второй группе критериев, применяемых при неизвест­ных априорных вероятностях состояний природы, относятся критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Оптимальной по кри­терию Вальда считается чистая стратегия А_i, при которой наименьший выигрыш статистика будет максимальным, то есть ему обеспечивается .

Для смешанных стратегий критерий Вальда формулиру­ется так: оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой минимальный средний выигрыш статистика будет максимальным, то есть стратегия р*, найденная из условия .

Оптимальной по критерию Сэвиджа считается та чистая стратегия А_i, при которой минимизируется величина r_i мак­симального риска, то есть обеспечивается .

Для смешанных стратегий критерий Сэвиджа формули­руется так: оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой максимальный средний риск статистика минимизируется, то есть стратегия р*, найденная из условия .

Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия А_i, найденная из условия где принадлежит интервалу (0; 1) и выбирается из субъективных сооб­ражений. При = 1 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего пессимизма Вальда, а при = 0 — в критерий край­него оптимизма.