2015-04-20
1257
Если число испытаний n достаточно велико, а вероятности p и q не очень близки к нулю (обычно достаточно условий n > 100, npq > 20), то вероятность Pn (k) того, что в n испытаниях событие произойдет ровно k раз, можно приближенно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа:
,
где 
, 
- функция Гаусса.
Функцию φ(x) часто называют малой функцией Лапласа, значения которой приведены в таблице (приложение 1).
Пользуясь таблицей, необходимо использовать свойства функции φ(x):
1. Функция φ(x) является четной, т. е. φ(– x) = φ(x).
2. Функция φ(x) - монотонно убывающая при положительных значениях x, причем при x → ¥, φ(x) → 0.
Практически можно считать, что уже при x > 5, φ(x)» 0.
Пример 2.4. Вероятность того, что изделие, сошедшее с конвейера, является изделием первого сорта, равна 0,9. Какова вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся первого сорта?
Решение
По условию, n = 400, k = 356, p = 0,9, q = 0,1. Так как n достаточно велико, npq = 400 × 0,9 × 0,1 = 36 > 20, то по формуле Муавра-Лапласа:
|
|
|
.
Вычислим определяемое данными задачи значение x:
.
Учитывая, что 
, 
, по таблице приложения 1 находим 
.
Искомая вероятность 
.
Ответ: 
0,0531.
Тест 2.3. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз. Применяя локальную формулу Муавра-Лапласа 
, находим x следующим образом:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Тест 2.4. Значение функции 
при x = – 1,37 равно:
1) 
;
2) – 
.
