Определение будущей и современной стоимости постоянных аннуитетов

Вид аннуитета	Будущая стоимость	Современная стоимость	Срок аннуитета
Постнумерандо постоянный годовой ограниченный			n = n =
Постнумерандо постоянный р-срочный ограниченный (р>1)			n = n =
Пренумерандо постоянный годовой ограниченный		+1)	-/-
Пренумерандо постоянный годовой ограниченный (р>1)			-/-

Задачи

1. Предоставлена ссуда 60 000 рублей 16 января с погашением через 9 месяцев под 18% годовых (год невисокосный). Рассчитайте сумму к погашению при различных способах начисления процентов: а) обыкновенный процент с точным числом дней; б) обыкновенный процент с приближенным числом дней; в) точный процент с точным числом дней.

В данной задаче применяется простая ставка r = 0,18; исходный капитал составляет P=60 000 руб.; точное число дней ссуды = 273дня (определяется по календарю), приближенное число дней = 30 дней * 9 месяцев = 270 дней.

Определяем будущую стоимость по формуле

А) F=60 000*(1+0,18* ) = 68190 руб.

Б) F=60 000*(1+0,18* ) = 68100 руб.

В) F=60 000*(1+0,18* ) = 68077,81 руб.

Таким образом, использование различных способов расчета процентов приводит к разным значениям будущей стоимости.

2. В банк было положено 100 000 руб. Через 2 года 6 месяцев на счету было 120 000 руб. Определите, какую процентную ставку простых процентов использует банк.

В задаче имеются будущая F = 120 000 руб. и современная P = 100 000 руб. стоимости, срок сделки n=2,5 года (при использовании обыкновенных процентов с приближенным числом дней сделки). Для расчета воспользуемся следующей формулой

.

r = [(120 000/100 000)-1]/2,5=0,08

Таким образом, ставка составляет 8%.

3. Банк предоставил ссуду в размере 10 000 руб. на два года на следующих условиях: за первый год плата за ссуду будет исчисляться исходя из простой процентной ставки 10% годовых, в каждом последующем полугодии процентная ставка будет возрастать на 5%. Определите, какую сумму должен вернуть заемщик.

В задаче указана исходная сумма денег P = 10 000 руб., значение процентной ставки меняется, поэтому r₁ = 0,1, n₁ = 1 год, r₂ = 0,15, n₂ = 0,5 года, r₃= 0,2, n₃ = 0,5 года. Совокупный срок для начисления процентов в соответствии с условиями задачи составит 2 года. Поскольку ставка является переменной, необходимо внести изменения в основную формулу

F = 10 000 * (1+0,1*1 +0,15*0,5 +0,2*0,5) = 12750 руб.

4. Предоставлена ссуда в размере 8 000 рублей на 2 года. Определите, какую сумму необходимо вернуть должнику, если сложная процентная ставка составляет 15% годовых.

Определим исходные данные для расчета:

P = 8000 руб., r = 0,15, n = 2 года.

Воспользуемся формулой

.

F = 8000*(1+0,15)² = 10580 руб.

5. Банк начисляет проценты по вкладам по ставке 6% годовых (сложные). Определите эффективную ставку по вкладам, эквивалентную номинальной, если начисление процентов производится а) по полугодиям, б) поквартально, в) ежемесячно.

В условии задачи представлена номинальная сложная процентная ставка

r₂ = 0,06, на основе которой производится начисление процентов

а) по полугодиям, следовательно, m = 2,

б) поквартально, m = 4,

в) ежемесячно, m= 12. Срок сделки не указан, по умолчанию n = 1.

Для определения эффективной ставки применим формулу

а) = 0,0609

б) = 0,0614

в) = 0,0617

Получаем следующие эквивалентные ставки: использование ставки 6% годовых с полугодовым начислением позволит получить тот же результат по окончании сделки, что применение ставки 6,09 % годовых; использование ставки 6% годовых с ежеквартальным начислением позволит получить тот же результат по окончании сделки, что применение ставки 6,14 % годовых; использование ставки 6% годовых с ежемесячным начислением позволит получить тот же результат по окончании сделки, что применение ставки 6,17 % годовых. Таким образом, с увеличением внутригодовых начислений значение годовой эффективной ставки увеличивается.

6. Предприятие получило в сумме 34650 руб. Через 2 года по условиям договора заемщик должен вернуть 51 650 руб. Определите ставку за кредит, если начисление процентов производится ежеквартально (сложные).

По данным задачи P = 34650 руб., F = 51 650 руб., m = 4, n = 2. Рассчитаем сложную процентную номинальную ставку:

Отсюда, = 0,205

Таким образом, сложная номинальная процентная ставка составит 20,5% годовых.

7. Определите срок, через который 100 руб., размещенные в кредитной организации вырастут до 6605 руб., если ставка сложных процентов составляет 10% при ежемесячном начислении процентов.

На основе представленных данных определим необходимые для расчета условия сделки: P = 100 руб., F = 6605 руб., r = 0,1, m = 12.

Отсюда, r = = =42 года.

Следовательно, для получения капитала в 6605 при наличии 100 рублей необходимо 42 года при условии начисления процентов по ставке 10% годовых с ежемесячной капитализацией.

8. Банк предоставил ссуду в размере 20 000 руб. на два года на следующих условиях: за первый год плата за ссуду будет исчисляться исходя из сложной процентной ставки 10% годовых, в каждом последующем полугодии процентная ставка будет возрастать на 5%. Определите, какую сумму должен вернуть заемщик.

Данные для решения задачи: P = 20 000 руб., r₁ = 0,1, r₂=0,15, r₃= 0,2,

n₁= 1 год, n₂ = 0,5 года, n₃ = 0,5 года.

Совокупный срок сделки в соответствии с условиями задачи составит 2 года. Ставка, представленная в задаче, является переменной, поэтому необходимо внести изменения в формулу:

F = P *(1+ )ⁿ₁ * (1+ )ⁿ₂ *(1+ )ⁿ₃

F = 20 000 *(1+0,1)¹ * (1+0,15)^0,5 *(1+0,2)^0,5 = 26886,45 руб.

Заемщик должен вернуть 26886,45 руб.

9. На сумму 25 000 рублей в течение трех месяцев начислялись простые проценты по ставке 14% годовых. За каждый месяц цены росли на 1,1;1,2 и 1,3%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и величину положительной процентной ставки.

Данные для решения задачи: P = 25 000 руб., r = 0,14, n= 0,25 года, h₁ = 0,011, h₂ = 0,012, h₃ = 0,013.

Для решения задачи необходимо определить индекс цен за три месяца. Воспользуемся формулой со сложной процентной переменной ставкой:

Jp=

Jp = (1+0,011)*(1+0,012)*(1+0,013)= 1,0364

Fi=P*[(1+r_d*n)/Jp] = 25 000*[(1+0,14*0,25)/1,0364]= 24966,23 руб.

Рассчитаем барьерную ставку:

= 0,1456

Наращенная сумма с учетом инфляции составит 24966,23 руб., положительная ставка – это ставка, превышающая барьерную, т.е. более 14,56%.

10. Банк выдает клиенту кредит на 3 месяца, в течение которых по оценкам экспертам ежемесячный индекс инфляции составит 1,01. Определите значение процентной сложной ставки, полностью компенсирующей потери от инфляции, если банк желает обеспечить реальную доходность, определяемую сложной процентной ставкой в 5% годовых.

По данным задачи r_s= 0,05, Jp(мес) =1,01, n = 0,25.

Рассчитаем брутто-ставку:

= = 0,18317

Таким образом, при ежемесячном индексе цен 1,01 банк должен установить брутто-ставку 18,317% для обеспечения реальной доходности 5%.

11. Банк предлагает клиентам помещать деньги на депозит на один год 8% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Определите реальную доходность такого предложения для клиентов банка, если ежемесячный индекс инфляции прогнозируется равным 1,011.

По условию задачи r_d= 0,08, m =4, Jp(мес)=1,011.

Ip = =1,1403

Возможны два варианта решения данной задачи:

а) необходимо определить величину эффективной ставки, эквивалентной номинальной ставке r = 0,08 при m = 4:

= (1+0.08/4)^4*1-1=0.0824

Затем рассчитать реальную эффективную процентную ставку:

= = -0,0508

Следовательно, реальная доходность составляет -5,08%.

б) необходимо использовать множители наращения с номинальной ставкой:

()/Jp =

=

Следовательно, реальная доходность составляет -5,08%.

При необходимости можно определить и величину номинальной ставки с ежеквартальным начислением процентов. Для этого вновь будет применен принцип эквивалентности ставок.

12. На вклад в 100 000 рублей ежемесячно начисляются проценты по сложной процентной ставке 12% годовых. Оцените сумму вклада через 2 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции 1% в месяц. Определите величину положительной процентной ставки.

По условию задачи

F = 100 000 руб., r_d = 0,12, m = 12, h (мес.)= 0,01, n = 2 года.

Определим на основе данной формулы будущую стоимость с учетом инфляции:

= 100 000 руб.

Следовательно, стоимость денежных средств с учетом инфляции не изменится. Ставка, обеспечивающая сохранение денежных средств в первоначальном размере с учетом инфляции, является барьерной. Cтавка r = 0,12 при m = 12 является барьерной, и любая ставка больше нее будет положительной.

13. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий 4% простых в год, чтобы получить 52 000 руб. через 1 год?

По условию задачи F = 52 000 руб., r = 0,04, n = 1 год.

Для решения используем математическое дисконтирование:

P=F/(1+r*n)

50 000 руб.

На счете сегодня необходимо разместить 50 000 для получения через год 52 000 руб. при использовании простой процентной ставки 4% годовых.

14. Через три года от настоящего момента вы планируете поменять автомобиль, потратив на эту операцию 550 000 рублей, также через год от настоящего момента вы желаете отправиться на отдых, потратив 90 000 рублей. Определите, какую сумму необходимо разместить на счете сегодня, для накопления желаемых сумм, если банк предлагает 10% годовых (сложные).

По условию задачи F₁ = 90 000 руб., F₂= 550 000 руб., n₁ = 1 год, n₂ = 3 года, r = 0,1.

Применим для решения задачи математическое дисконтирование:

P=F/(1+r)ⁿ

= 81818,18 + 413223,14 = 495041,32 руб.

При определении современной стоимости будущих трат нельзя забывать о невозможности суммирования денежных средств, относящихся к разным моментам времени. Для устранения этого препятствия, приведем обе суммы к текущему моменту времени, затем их складываем. Таким образом, для совершения запланированных в будущем расходов, необходимо разместить сегодня на счете 495041,32 руб. при условии начисления процентов по ставке 10% годовых.

15. Вексель на сумму 10 000 рублей, срок платежа по которому наступает через полгода, продан с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Какова сумма дисконта?

По условию задачи F = 10 000 руб., n = 0,5 года, d = 0,15.

Воспользуемся для решения задачи банковским дисконтированием:

P=F*(1-d*n)

P=10 000*(1-0,15*0,5)= 9250 руб.

D=F-P = 10000 – 9250 = 750 руб.

Дисконт составит 750 руб.

16. Господин А. имеет вексель на 15 000 руб., срок погашения которого наступает 1 июля. Он желает его учесть в банке 1 марта того же года. Какую сумму получит господин А., если банк использует простую учетную ставку 7% годовых?

По условию задачи F = 15 000 руб., d = 0,07, n = года. n определяется как временной интервал между моментом учета векселя в банке и моментом его погашения.

P=F*(1-d*n) = 15 000 * (1-0,07* )= 14649,04 руб.

В результате учета векселя господин А. получит 14 649,04 руб.

17. Господин А. занял у господина В. деньги, получив от него 9800 рублей и выдав ему вексель, по которому обязался выплатить 10 000 рублей через 3 месяца. Под какую годовую учетную ставку (простые проценты) выдан этот вексель?

По условию задачи F = 10 000 руб., P = 9800 руб., n = 0,25 года.

Воспользуемся для решения задачи банковским дисконтированием:

P=F*(1-d*n)

=

Таким образом, вексель был выдан под простую учетную ставку 8%.

18. Кредит предоставляется под 18% сложных процентов сроком на 10 лет. Господин В., получающий кредит, желает привлечь его под простые проценты (на ту же сумму на тот же срок). Определите ставку простых процентов, которая должна быть предусмотрена контрактом.

По условию задачи r1 = 0,18, n1 = 10 лет, n2 = 10 лет.

Воспользуемся принципом эквивалентности ставок:

(1+r₂*n₂)= (1+r₁)ⁿ₁

Отсюда, r₂ = = = 0,4234

Следовательно, простая процентная ставка составит 42,34% годовых.

19. В конце каждого года на счет вносится 3000 рублей. Определите, какая сумма будет на счете через 3 года, если на вложенные средства начисляются проценты по ставке 14% годовых (сложные).

Необходимо определить будущую стоимость аннуитета (постнумерандо, постоянный, годовой, ограниченный). По условию задачи R = 3000 руб., n = 3 года, r = 0,14.

Возможны несколько вариантов записи решения данной задачи:

а) Fpst =

б) = = 10 318.8 руб.

Использование этих двух вариантов возможно, поскольку аннуитет является постоянным. По истечении 3 лет на счете будет находиться 10 318,8 руб.

20. Вы намерены приобрести дачу и для этой цели планируете накопить 10 тысяч руб. в течение 5 лет. Каким должен быть ежеквартальный взнос в банк (постнумерандо), если банк предлагает 12% годовых, начисляемых ежеквартально.

В данной задачи необходимо определить величину платежа постоянного р- срочного ограниченного аннуитета постнумерадо. По условию задачи

Fpst = 10 000 руб., p = 4, r = 0,12, m=4.

,

R = 10 000 * 372,16 руб.

Таким образом, ежеквартальный взнос должен составлять 372,16 руб.

21. Какой необходим срок для накопления 60 тыс. руб. при условии, что ежегодно вносится по 10 тыс.руб. по схеме постнумерандо, а на накопленные фонды начисляются проценты по ставке 9 % годовых.

Необходимо определить срок постоянного годового аннуитета постнумерандо.

По условию задачи Fpst = 60 000 руб., R = 10 000 руб., r = 0,09.

n = = = 5 лет

Следовательно, срок аннуитета должен составлять 5 лет.

22. Господин В. вкладывает 25 000 рублей в начале каждого года в банк, выплачивающий проценты по ставке 8% годовых с ежеквартальным начислением (сложные). Какая сумма будет на счету Петрова через 4 года.

Необходимо определить будущую стоимость постоянного годового ограниченного аннуитета пренумерандо.

По условию задачи R = 25 000 руб.. n = 4 года, r = 0,08, m = 4.

Fpre = , иначе Fpre = Fpost*

а) FVpre = 25 000 *

б) FVpre = 25 000*

23. Определите будущую и современную стоимость переменного потока платежей на основе следующих данных:

Год
Платеж, руб.
Ставка, %

Осуществите расчет для двух вариантов:

а) платежи производятся в конце периода,

б) платежи производятся в начале периода.

Необходимо рассчитать будущую и современную стоимость переменного годового ограниченного аннуитета. По условию R₁ = 100руб., R₂ = 150руб, R₃ = 20руб, R₄ = 370руб., r = 0,1, n= 4 года.

а) определим стоимость постнумерандо

Fpost =

Ppost =

б) определим стоимость пренумерандо

Fpre =

Ppre = 100 +

24. Определите, какую сумму необходимо положить в банк, чтобы в течение следующих 5 лет иметь возможность снимать со счета каждый год по 100 тыс. руб. по схеме постнумерандо, исчерпав весь счет к концу этого срока, если банк начисляет проценты по ставке 10 % годовых (сложные).

Необходимо определить современную стоимость постоянного годового ограниченного аннуитета постнумерандо.

По условию задачи R = 100 000 руб., n = 5 лет, r = 0,1.

Ppost = 100 000 *

Следовательно, сегодня необходимо разместить на счете 379 078,68 руб.

25. Определите современную стоимость аннуитета постнумерандо продолжительностью 5 лет, который не предполагает никаких поступлений в первые два года и равные поступления в 1000 рублей в оставшиеся годы, если ставка составляет 5% годовых для первых двух лет и 8% годовых для оставшихся трех лет.

Необходимо определить современную стоимость постоянного годового ограниченного аннуитета постнумерандо. Особенность данного потока состоит в том, что момент начала выплат не совпадает с началом срока аннуитета. Такой аннуитет называется отложенным или отсроченным.

По условию задачи R = 1000 руб., n₁ = 2 года, n₂ = 3 года, r₁ = 0,05, r₂ = 0,08.

Рассчитаем стоимость потока на момент начала выплат:

Ppost = 1000 *

Для получения современной стоимости потока необходимо полученную стоимость привести к моменту оценки:

Ppost = = 2337,5 руб.

26. Рассчитайте текущую стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением 100 руб. в конце каждого года при годовой процентной ставке 10%.

Необходимо определить современную стоимость бессрочного годового аннуитета постнумерандо. По условию задачи R = 100 руб.,r = 0,1.

Ppost = =

Следовательно, современная стоимость вечного аннуитета составит 1000 руб.

27. Потребительский кредит в сумме 25 000 руб. выдан на два года при разовом начислении процентов по ставке 10% годовых (простые проценты). Погашение задолженности помесячное. Определите остаток долга на начало 4 месяца, а также проценты по нему.

В данной схеме погашения потребительского кредита проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в момент открытия кредита. Погашение долга с процентами производится равными суммами на протяжении всего срока кредита. Воспользуемся для решения задачи наиболее простым методом - равномерное распределение выплат процентов.

По условию задачи P = 25 000 руб., n = 2 года, p = 12, r = 0,1.

Определим наращенную сумму долга

= 30 000 руб.

Рассчитаем величину разового погасительного платежа

R

R =

R состоит из расходов на уплату сумму процентов (R₁) и на погашение долга (R₂):

R= R₁ + R₂

R₁ = =

R₂ =

Остаток долга на начало 4 месяца: D₄ = P - R_2(1-3)

D₄ = 25000-1046.67=21874.99руб.

Проценты к уплате по истечении 3 месяцев:

I = 21*208.33=4374,93 руб.

Схема погашения кредита представлена в таблице.

Месяц	Остаток ссуды на начало месяца	Сумма платежа за месяц	В том числе	Остаток ссуды на конец месяца
Проценты за месяц R1	Погашенная часть долга R2
			208,33	1041,67	23958,33
	23958,33		208,33	1041,67	22916,66
	22916,66		208,33	1041,67	21874,99
	21874,99		208,33	1041,67	20833,32
…
	1041,67		208,33	1041,67

28. Под залог недвижимости выдана ссуда в размере 240 000 рублей на 10 лет. Погашение осуществляется ежемесячно по схеме постнумерандо. На долг начисляются проценты по ставке 12% годовых ежемесячно. Определите ежемесячные расходы должника, а также остаток долга на начало 3 месяца.

Для решения данной задачи воспользуемся условиями стандартной ипотечной ссуды. Она предполагает равные ежемесячные взносы по схеме постнумерандо.

По условию задачи: Ppost = 240 000 руб., r = 0,12, m = 12, n = 10 лет, p = 12.

Определим величину ежемесячного платежа

R = 240 000 *

R состоит из расходов на уплату сумму процентов (R₁) и платежей в погашение долга (R₂):

R= R₁ + R₂

R₁ за 1 месяц = 240 000 * = 2400 руб.

R₂ за 1 месяц = 3443,3 – 2400 = 1043,3 руб.

Остаток долга на конец 1 месяца D₁= 240 000 -1043,3 = 238965,7 руб.

Схема погашения ссуды отражена в таблице.

Месяц	Остаток ссуды на начало месяца	Сумма платежа за месяц	В том числе	Остаток ссуды на конец месяца
Проценты за месяц	Погашенная часть долга
	240 000	3443,3		1043,3	238956,7
	238956,7	3443,3	2389,57	1053,73	237902,97
	237902,97	3443,3	2379,03	1064,27	236838,7
…
	3409,2	3443,3	34,10	3409,2

Остаток долга на начало третьего месяца можно определить и на основе следующей формулы: