Примечание

В случае, когда среди векторов Р₁, Р₂,…, Р_n+m, составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений (3.15), имеется m единичных, указанную матрицу P^-1 образуют числа первых m строк последней симплекс-таблицы, стоящие в столбцах данных векторов, а оптимальный план двойственной задачи Y^* определяется по следующему правилу:

, если ci = 0 , если ci ≠ 0

для всех , где _i – элемент (m+1)-ой строки столбцов единичных векторов первоначального базиса.

Пример 3.10

Рассмотрим задачу об использовании сырья (пример 2.1). Найдем оптимальный план соответствующей двойственной задачи (пример 3.5). Решение прямой задачи приводится в разделе 3.4 (см пример 3.3).

Рассмотрим последнюю симплекс-таблицу:

i	Базис	Сб	Р0	3	2	0	0	0	0
Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
	Х2		4/3			2/3	-1/3
	Х1		10/3			-1/3	2/3
	Х5					-1
	Х6		2/3			-2/3	1/3
			38/3			1/3	4/3
				у*5	у*6	у*1	у*2	у*3	у*4

Воспользуемся Теоремой 3.3 для нахождения Y^*.

Матрицу Р образуют вектора Р_2, Р₁, Р₅, Р₆, соответствующие базисным переменным последней симплекс-таблицы, взятые из исходной системы уравнений:

х₁ + 2х₂ + х₃ =6

2х₁ + х₂ +х₄ =8

-х₁ + х₂ +х₅ =1

х₂ +х₆ =2

то есть: Р₂ Р₁ Р₅ Р₆

2 1 0 0

Р = 1 2 0 0

1 -1 1 0

1 0 0 1

С_б = (2;3;0;0).

Таким образом,

Очевидно, что данное оптимальное решение Y^* легче получить, воспользовавшись приложением к Теореме 3.8.

Действительно, так как исходная задача имеет 4 единичных вектора Р_, Р₁, Р₅, Р₆, то обратная матрица Р^-1 будет записана в первых 4-х строках последней симплекс-таблицы (в столбцах переменных Х₃, Х_4, Х_5, Х₆), значения двойственных переменных – в тех же столбцах последней 5-й строки (поскольку С_i =0, i = 3,4,5,6).

Итак, анализируя оптимальное решение двойственной задачи, можно сделать следующие выводы:

1) 1 ^й и 2 ^ой ресурсы (продукты А и В) являются дефицитными, так как соответствующие им двойственные переменные у*₁ =¹/₃ и у*₂ =⁴/₃ положительны, причем, продукт В более дефицитный (у*₂ > у*₁);

2) 3 ^й и 4 ^й ресурсы (ограничения на спрос) не дефицитны (у*₃ = у*₄ =0). В частности, подобную информацию можно получить с помощью оптимальных дополнительных переменных прямой задачи, которые численно выражают разность между двумя частями соответствующих ограничений: Х₃ = Х₄ =0 – остаток у дефицитных ресурсов отсутствует, Х₅ =3, Х₆ =2/3 – величина дисбаланса между спросом на товар и объемом его производства;

3) кроме того, дополнительные двойственные переменные у*₅ = у*₆ = 0 характеризует рентабельность выпускаемой продукции соответственно Е и I. Они показывают, на сколько внутренняя оценка производства j -го вида продукции превосходит его внешнюю оценку (дополнительная двойственная переменная положительная) или, что производство данной продукции оправданно по отношению к затраченным ресурсам (дополнительная двойственная переменная равна нулю);

4) суммарная оценка использованных в производстве ресурсов L_min совпадает с полученным от реализации продукции доходом F_max, т.е. L_min=F_max =38/3 тыс. грн.

Пример 3.11

Рассмотрим двойственную задачу для задачи о рационе (см. примеры 2.3 и 3.9):

L = 60y₁ + 50y₂ → max

y₁ + 2y₂≤ 19

3y₁ + 4y₂ ≤ 24

4y₁ + 2y₂ ≤ 25

y_j ≥ 0, j=1,2

Найдем оптимальное решение пары двойственных задач, решив двойственную задачу симплекс – методом (она соответствует виду ЗЛП, для которой описан алгоритм симплексного метода).

Каноническая форма:

L = 60y₁ + 50y₂ → max

y₁ + 2y₂ + у₃ =19

3y₁ + 4y₂ +у₄ =24

4y₁ + 2y₂ +у₅ =25

y_j ≥ 0;

Решение оформим в виде последовательности симплекс-таблиц.

i	Базис	Сб	Р0	60	50	0	0	0
Y1	Y2	Y3	Y4	Y5
	Y3
	Y4
	Y5
				-60	-50
	Y3		51/4		3/2			-1/4
	Y4		21/4		5/2			-3/4
	Y1		25/4		½			¼
					-20
	Y3		48/5				-3/5	1/5
	Y4		21/10				2/5	-3/10
	Y1		26/5				-1/5	2/5
				х*4	х*5	х*1	х*2	х*3

Так как все y_j ≥ 0; , то план оптимален:

Y^* = (²⁶/₅; 0; 0; ²¹/₁₀; ⁴⁵/₅; 0; 0), L_max = 417.

Согласно приложению к теореме 3.3. имеем: Х^* =(0;8;9;0;0); F_min=L_max=417.

Таким образом, рекомендуется составить кормовую смесь из 8 и 9 кг кормов 2-го и 3-го видов (х*₂ = 8_, х*₃ = 9) соответственно Их использование оправдано (у*₄ = у*₅ = 0). Первый вид корма использовать не целесообразно (х*₁ =0). Возможный убыток при включении 1 кг корма 1-го вида в кормовую смесь составит ⁴⁸/₅ грн. (у*₃ = ⁴⁸/₅).

Составленная кормовая смесь обеспечит животным получение необходимого количества питательных веществ А и В, а именно 50 и 60 единиц соответственно. Причем, питательное вещество А ценнее, чем вещество В (у*₁ =²⁵/₆ > у*₂ = ²¹/₁₀). При этом стоимость кормовой смеси будет минимальной и составит 417 грн.