Тема 4. Статистическое изучение вариации

Пример 3: При изучениивлияния рекламы наразмер среднемесячного вклада было обследовано 2 банка. Получены следующие результаты.

Таблица 1. Зависимость вклада от рекламы.

Размер месячного вклада, р.	Число вкладчиков
Банк с рекламой	Банк без рекламы
До 500	-
500-520	-
520-540	-
540-560
560-580
580-600
600-620		-
620-640		-
Итого:

Определите:

1) Для каждого банка:

А) средний размер вклада за месяц;

Б) дисперсию вклада;

2) средний размер вклада за месяц для двух банков;

3) дисперсию вклада для двух банков, зависящую от рекламы, ;

4) дисперсию вклада для двух банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы ;

5) общую дисперсию , используя правило сложения;

6) коэффициент детерминации ²;

7) корреляционное отношение .

Решение: Рассчитаем групповые показатели для каждого банка. Показатели банка, использующего рекламу:

Расчет среднего вклада и дисперсии

Размер месячного вклада, р.	Число вкладчиков f	Середина интервала x	x-a	x-a k	× f		^{× f}

540-560			-40	-2	-22
560-580			-20	-1	-13
580-600
600-620
620-640
Итого:		-	-	-	-25	-

Представлен интервальный ряд распределения. Выражаем его дискретно, т.е. определяем середину интервала (гр.3).

Средний размер вклада определим способом моментов:

Обозначаем a и k. За a выбираем размер варианта при наибольшей частоте, т.е. a = 590, за k – размер интервала, т.е. k =20. Далее решение оформляем в таблицу, т.е. заполняем гр. 4, 5,6. Результаты вносим в формулу

Средний вклад за месяц в банке с рекламой составляет 580р.

Определяем дисперсию вклада :

Для решения заполняем гр.7 и 8:

Такие же расчеты произведем для банка, не использующего рекламу:

Размер месячного вклада, р.	Число вкладчиков f	Середина интервала, р. x	x-a	x-a k	× f		^{× f}
До 500			-40	-2	-6
500-520			-20	-1	-4
520-540
540-560
560-580
580-600
Итого:		-	-	-		-

Решение: Определяем середину интервала (гр.3).

Обозначаем a и k: a=530 (вариант при наибольшей частоте); k=20 (размер интервала). Определяем средний вклад за месяц .

Заполняем гр. 4,5,6.

Средний вклад в банк без рекламы составил 542,8р.

Определяем дисперсию вклада :

Заполняем гр. 7 и 8. Подставляя значения в формулу:

Далее определим средний вклад за месяц для двух банков. Так как в банках по 50 вкладчиков (частоты одинаковы), для расчета используем среднюю арифметическую простую:

Средний вклад для двух банков составил 561,4 р. в месяц.

Определяем межгрупповую (факторную) дисперсию:

Определяем внутригрупповую (остаточную) дисперсию:

Теперь рассчитаем общую дисперсию :

Используя правило сложения дисперсий

Рассчитаем коэффициент детерминации :

или 38,5%.

Далее определим корреляционное отношение :

Ответ: Результаты показывают, что средний вклад в банке с рекламой выше, чем в банке без рекламы и в двух банках вместе. Следовательно, реклама положительно влияет на вклады. Коэффициент детерминации свидетельствует о том, что средний вклад на 38,5% зависит от рекламы. Корреляционное отношение , равное 0,62, свидетельствует о достаточно тесной связи между рекламой и вкладом. Эмпирическое корреляционное отношение (индекс корреляции) может находиться в пределах от 0 до 1, чем он ближе к единице, тем теснее связь.

Подготовка к 1 контрольной работе (аналогичные задачи: задание 1,2 – стр. 22 Теории статистики, задание 3 – стр. 31 Теории статистики).

Задача 3. Для оценки стоимости основных средств промышленных предприятий региона проведен 5% механический отбор, результаты которого представлены в таблице:

Если 100 предприятий – 5%, то

X предприятий -100%

Решаем пропорцию

X = 100*100/ 5 = 2000 предприятий.

Группы предприятий по стоимости основных средств, млрд.руб.	Число предприятий
До 1
1-2
2-3
3-4
4-5
5 и выше
Итого:

Определить:

1) по выборочным предприятиям: а) среднюю стоимость основных средств; б) моду и медиану;

2) показатели вариации: а) размах вариации; б) среднее линейное отклонение; в) дисперсию и среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации;

3) с вероятностью 0,954 для всех промышленных предприятий региона: а) среднюю стоимость основных фондов; б) долю предприятий со стоимостью основных фондов выше 5 млрд. р.; в) ожидаемую сумму налога на имущество (2%) по региону в целом. Сделать выводы.

Решение:

Группы предприятий по стоимости основных средств, млрд.руб.	Число предприятий f	x (середина интервала)	x-a	x-a k			f
До 1		0,5	-2	-2	-24	0,25		26,64
1-2		1,5	-1	-1	-22	2,25	49,5	26,84
2-3		2,5				6,25	187,5	6,6
3-4		3,5				12,25	171,5	10,92
4-5		4,5				20,25		21,36
5 и выше		5,5				30,25	302,5	27,8
Итого:		-	-	-		-		120,16

1) а) Определим k = 1, вариант x при наибольшей частоте f =30, a=2,5

Среднюю стоимость основных фондов рассчитаем методом моментов:

момент первого порядка:

Б) мода

Медиана

2) Показатели вариации:

А) размах вариации: R=х мах – х мин =5,5-0,5=5 млрд.р.

Б) среднее линейное отклонение:

В) в) дисперсию по способу моментов и среднее квадратическое отклонение:

г) коэффициент вариации

P-вероятности	t – критерии доверия
0.683	1.0
0.866	1.5
0.954	2.0
0.988	2.5
0.997	3.0
0.999	3.5

3) Дано: Р=0,954, критерий t=2

Определить среднюю стоимость основных фондов: поскольку мы уже определили выборочную среднюю (5% отбор – 100 предприятий, следовательно 100% - 2000 предприятий) , то при заданной вероятности генеральная средняя будет находиться в следующих границах: