Тема 5 Поверхность уровня

Поверхность, во всех точках которой давление жидкости одинаково называется поверхностью равного давления (или поверхностью уровня).

Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково р = const, то изменение давления dp = 0. Из основного уравнения гидростатики (4.6) dp = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz) получим

r × (X × dx + Y × dy + Z × dz) = 0.

Так как плотность r ¹ 0, то

X × dx + Y × dy + Z × dz = 0. (5.1)

где X, Y и Z – проекции ускорения массовой (объёмной при r = const) силы на координатные оси.

Уравнение (5.1) представляет собой дифференциальное уравнение поверхности равного давления, то есть уравнение поверхности уровня.

Свойства поверхности уровня

1. Две поверхности уровня не пересекаются между собой.

2. Внешние массовые (объёмные) силы направлены нормально к поверхности уровня.

Рассмотрим равновесие капельной и газообразной жидкости в поле земного тяготения. Ускорения свободного падения в различных точках этого пространства будут параллельны и направлены вертикально вниз. Расположим координатную ось 0z вертикально вверх. При этом ускорение свободного падения g = 9,81 м/с² будет направлено параллельно оси 0z.

Составим уравнение поверхности уровня, учитывая, что для данного случая равновесия жидкости величины X, Y и Z будут равны соответственно:

X = g_x = 0; Y = g_y = 0; Z = g_z = – g,

где g_x, g_y и g_z – проекции ускорения g по координатным осям.

Подставляя эти значения в дифференциальное уравнение поверхности уровня (5.1) X × dx + Y × dy + Z × dz = 0 получим дифференциальное уравнение поверхности уровня для рассматриваемых условий:

– g × dz = 0 или dz = 0. (5.2)

Интегрируя это уравнение, находим

– g × z = const

или

z = const = С. (5.3)

Так как С = const – произвольная постоянная, то это уравнение (5.3) будет уравнением семейства г оризонтальных плоскостей, параллельным осям 0x и 0y,

Итак, если на жидкость действует только сила тяжести, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость.

Следовательно, в пределах любой горизонтальной плоскости, проведенной через область, занятую покоящимся газом или капельной жидкостью, давление остаётся неизменным (рис. 9, 10). Гидростатическое давление в точке р изменяется только с высотой расположения этой точки р = f (z).

Если закрытый резервуар заполнен капельной жидкостью, то во всех точках свободной поверхности гидростатическое давление одинаково р₀ (рис. 10). Свободная поверхность воды в открытом резервуаре испытывает одно и то же атмосферное давление р_бар. Свободная поверхность в этих случаях является поверхностью уровня и, следовательно, горизонтальной плоскостью.