Поверхности (линии) уровня

Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция

.

В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле.

Если, например, функция обозначает температуру в точке , то говорят, что задано скалярное поле температур; если область D заполнена жидкостью или газом и обозначает давление, то имеется скалярное поле давлений и т. д.

Рассмотрим точки области D, в которых функция имеет постоянное значение :

.

Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение , то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.

Пример. Пусть задано скалярное поле

.

Здесь поверхностями уровня будут поверхности

,

т. е. эллипсоиды с полуосями , , .

Если функция есть функция двух переменных и :

,

то «поверхностями» уровня будут линии на плоскости :

,

которые называются линиями уровня.

Если значения мы будем откладывать по оси , то линиями уровня на плоскости будут проекции линий, которые получаются в пересечении поверхности с плоскостями . Зная линии уровня, легко исследовать характер поверхности .

Пример. Определить линии уровня функции .

Решение. Линиями уровня будут линии с уравнениями . Это окружности радиуса . В частности, при получаем окружность . График данной функции, а также получаемые линии уровня изображены на рисунке.