Краткая теория. Цель работы: Определить радиус кривизны вогнутой сферической поверхности и произвести оценку погрешности полученного результата

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ

ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
МЕТОДОМ КАТАЮЩЕГОСЯ ШАРИКА

Цель работы: Определить радиус кривизны вогнутой сферической поверхности и произвести оценку погрешности полученного результата.

Принадлежности: Вогнутое сферическое зеркало, стальные шарики, секундомер, штангенциркуль.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Движение шарика, катящегося по плоской поверхности, можно представить в виде векторной суммы двух движений: 1) поступательного со скоростью u_с, равной скорости его центра масс, 2) вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс, с угловой скоростью w.

Скорость любой точки шарика относительно поверхности определится соотношением

. . (1)

Если качение шарика происходит без проскальзывания, то скорость его точки B, соприкасающейся с поверхностью, будет равна нулю. В силу этого, как следует из (1) (см. рис.1), 0 = u_с - w× r. Поэтому

, (2)

где r - радиус шарика.

С помощью формул (1) и (2), можно подсчитать скорость любой точки шарика. Так, например, скорость точки А равна 2u _с.

Шарик, помещенный на вогнутую поверхность, занимает положение, соответствующее минимуму его потенциальной энергии. Если шарик вывести из этого положения и отпустить, то он будет колебаться около своего положения равновесия. Качение шарика без проскальзывания возможно при действии на него со стороны поверхности силы трения покоя (силы трения сцепления) F_t (рис.2). Эта сила F_t может принимать любое значение от 0 до m×N, где m - коэффициент трения, N – величина нормальной реакции поверхности. При качении сила F_t принимает такое значение, при котором скольжение отсутствует. Если сила требующаяся для этого, превышает величину m×N, то чистое качение невозможно - оно будет сопровождаться проскальзыванием.

Покажем, что на вогнутой сферической поверхности при небольших смещениях от положения равновесия, шарик будет совершать гармонические колебания. Результирующая сил, действующих на шарик (силы трения сцепления F_{t ,} нормальной реакция поверхности N и силы тяжести mg) сообщает центру масс шарика некоторое ускорение, которое можно представить в виде векторной суммы нормального a_n и тангенциального a _t ускорений:

. (3)

Проектируя (3) на направление касательной к траектории шарика, получим:

Если ограничиться малыми углами, при которых sina» a, то будем иметь:

. (4)

Результирующий момент сил, действующих на шарик, сообщает ему угловое ускорение b, которое входит в основное уравнению динамики вращающихся твердых тел

. (5)

Уравнение (5) описывает вращение шарика относительно оси, проходящей через его центр масс. Здесь I_c - момент инерции шарика относительно оси, проходящей через центр масс, b - его угловое ускорение шарика, F_t× r - момент силы трения сцепления относительно указанной оси. (Моменты сил mg и N относительно указанной оси равны нулю). Для однородного шара

. (6)

Если радиус кривизны сферической поверхности R существенно превосходит радиус шарика r, то связь между ускорениями a_t и b может быть представлена соотношением:

(7)

Подставляя (6) и (7) в (5), получим:

. (8)

Исключая величину F_t из формул (4) и (8), можно получить:

.

Принимая во внимание, что

,

где S - смещение шарика от положения равновесия, отсчитанное по траектории центра масс шарика, R - радиус кривизны этой траектории, получим:

. (9)

Из полученного следует, что тангенциальное ускорение шарика пропорционально его смещению от положения равновесия и направлено к положению равновесия. Это указывает на то, что колебания шарика будут гармоническими.

В самом деле, при гармоническом колебании смещение S изменяется по закону

S = A×cosw×t

Дифференцируя S дважды по t, получим:

Þ (10)

Здесь - циклическая частота колебания.

Из формул (9) и (10) следует, что

В результате для радиуса кривизны траектории центра масс шарика R получим

. (11)

Радиус кривизны вогнутой поверхности зеркала будет превышать R на величину радиуса шарика r. Поэтому

R_з=R + r. (12)

Чтобы получить более точное выражение для радиуса кривизны сферического зеркала необходимо учесть, что путь S,проходимый центром масс шарика и длина дуги l, описываемая точкой B, не равныдругу. Как следует из рис. 2,

l=a R_з, S=a (R_з-r ) и кроме того l=jr

Дифференцируя приведенные соотношения дважды по t, и принимая во внимание, что тангенциальная составляющая ускорения центра масс шарика a_t и его угловое ускорение b соответственноравны;

и ,

получим формулу, связывающую их между собой

(7’)

Используя вместо (7) формулу (7’), получим более точное выражение для радиуса кривизны зеркала

(12’)