Исследование функций

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа

математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является

изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком

направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при

введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при

повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование

может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть

построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с

помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто

требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую

производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск,

минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от

одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального

значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в

ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по

одному из достаточных условий экстремума:

1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀

. Если производная f '(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с +

на -, то x₀ - точка максимума, если с - на +, то x₀ -

точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x

₀, причем f '(x₀) = 0, f ''(x₀) ≠ 0, то в

точке x₀ функция f(x₀) имеет максимум, если f ''(x₀

) < 0 и минимум, если f ''(x₀) > 0.

Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график

функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом

интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).

Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли

которой может быть смоделирована зависимостью:

π(q) = R(q) - C(q) = q² - 8q + 10

Решение:

π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → q_extr = 4

При q < q_extr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает

При q > q_extr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может

производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) =

p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а

получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же

фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет

выпуск на пределе своих производственных мощностей.