Теоретическая часть. Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида

Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y⁽ⁿ⁾:

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

Определение. Решение удовлетворяет начальным условиям , если

Определение. Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши.

Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши).

Если функция (n-1) –й переменных вида в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по , то какова бы не была точка ( ) в этой области, существует единственное решение уравнения , определенного в некотором интервале, содержащем точку х₀, удовлетворяющее начальным условиям .

Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида:

где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀ ¹ 0.

Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.