2015-05-05
267
Определение. Дифференциальное уравнение 
называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
.
Такое уравнение можно представить также в виде:
Перейдем к новым обозначениям 
Получаем: 
После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: 
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям:
- это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.
Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.
- верно
Пример. Найти решение дифференциального уравнения 
при условии у(2) = 1.
при у(2) = 1 получаем 
Итого: 
или 
- частное решение;
Проверка: 
, итого
- верно.
Пример. Решить уравнение 
- общий интеграл
- общее решение
Пример. Решить уравнение 
Пример. Решить уравнение 
при условии у(1) = 0.
Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям.
Если у(1) = 0, то 
Итого, частный интеграл: 
.
Пример. Решить уравнение 
.
Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. Получаем общий интеграл:
Пример. Решить уравнение 
Преобразуем заданное уравнение:
Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.
Пример. Решить уравнение 
.
; 
;
Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:
Получаем частное решение 
Однородные уравнения.
Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
Пример. Является ли однородной функция 
Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.
Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Любое уравнение вида 
является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим однородное уравнение 
Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:
Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что 
. Получаем:
Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента 
, т.е.
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:
Далее заменяем y = ux, 
.
таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.
Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение 
.
Введем вспомогательную функцию u.
.
Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее 
.
Подставляем в исходное уравнение:
Разделяем переменные: 
Интегрируя, получаем: 
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
