2015-05-05
2153
Предлагаемая методика определения независимых критериев подобия из анализа размерностей определяющих физических величин была предложена А.Н. Лебедевым [ЛЕБЕД].
Пусть для исследуемого явления установлен список из 
определяющих величин (
), среди которых 
величин (
) имеют независимую размерность.
Пусть в выбранной системе единиц измерения имеется 
основных единиц с размерностями 
.
Заметим, что
§ число размерных величин с независимой размерностью ограничено числом основных единиц m используемой системы единиц измерения, т.е. k ≤ m;
§ в соответствии с p - теоремой, необходимое для описания рассматриваемого явления число независимых критериев подобия должно быть равно 
;
§ если 
, то можно получить большее количество безразмерных величин, чем требуется для безразмерного описания явления в соответствии с p - теоремой, т.е. можно составить несколько различных наборов, содержащих безразмерных величин.
Алгоритм определения критериев подобия с использованием теории размерностей сводится к выполнению следующих операций.
|
|
|
1. Составление формул размерностей всех определяющих величин в выбранной системе единиц измерения. При этом если размерности некоторых определяющих величин элементарно выражаются через размерности других, то из них сразу получают критерии подобия и в дальнейшем эти определяющие величины в рассмотрение не принимаются.
. (7.7)
2. Составление выражения для исходной степенной функции, в котором все n величин имеют различную размерность и 
, (7.8)
3. Подставляя (7.7) в (7.8), получаем формулу размерности функции F:
(7.9)
4. Критерии подобия всегда безразмерны. Условием безразмерности функции 
является уравнение:
,
следовательно, для того чтобы функция была безразмерной величиной необходимо, чтобы сумма показателей степеней при каждой основной размерности была равна нулю, что позволяет составить следующую систему уравнений:
. (7.10)
Полученная система (7.10) представляет собой линейную систему однородных уравнений, в которой число неизвестных величин превышает число уравнений , а число независимых уравнений системы составляет , причем 
. Такие системы имеют нетривиальные решения в том случае, если ранг матрицы коэффициентов системы, меньше числа неизвестных. Методы их решения можно найти, например, в [броншт, корн].
Допустим, что в рассматриваемом случае такие решения существуют, тогда, произвольно выбрав неизвестных, можно построить 
линейно независимых решений, и решить эту систему относительно оставшихся величин.
Присвоим величинам 
следующие значения:
(7.11)
Решив систему (7.10), получим
(7.12)
5. Подставляя выбранные (7.11) и найденные (7.12) значения в (7.10), можно найти все безразмерные комплексы, которые можно сформировать из размерных величин, из которых имеют независимую размерность.
|
|
|
Как уже отмечалось, если , то можно получить больше чем 
безразмерных величин, требуемых для безразмерного описания явления в соответствии с p - теоремой. Следовательно, для перехода к безразмерному описанию рассматриваемого явления необходимо из всех полученных безразмерных комплексов выбрать 
чисел подобия 
, физический смысл которых наиболее интересен с точки зрения описания рассматриваемого явления и которые наиболее удобны для практического использования. Эти величины и войдут в критериальное уравнение.
