Основы теории размерностей

В тех случаях, когда математическая модель процесса не установлена, критерии подобия и их количество могут быть определены методом анализа размерностей. Для этого требуется только установление всех параметров, определяющих протекание процесса.

7.2.1 -теорема

Принципиальное отличие теории размерностей от теории подобия состоит в том, что она не требует формулировки математической модели изучаемого явления. Достаточно установить полный перечень основных физических величин, определяющих протекание явления, после чего -теорема позволит определить необходимое количество безразмерных критериев подобия, а из анализа размерностей этих величин можно будет установить вид этих критериев.

В настоящее время в России действует ГОСТ 8.417 - 2002, предписывающий обязательное применение единиц Международной системы единиц (международное сокращенное наименование SI, в русской транскрипции СИ). Система СИ была принята в 1960 году XI Генеральной конференцией по мерам и весам (ГКМВ) и уточнена на последующих ГКМВ (в 1971 XIV ГКМВ добавила единицу количества вещества - моль).

В настоящее время основными величинами системы СИ являются семь физических величин:

- длина (единица - метр),

- масса (единица - килограмм),

- время (единица - секунда),

- термодинамическая температура (единица - Кельвин),

- сила электрического тока I (единица - ампер),

- сила света J (единица - кандела),

- количество вещества N (единица - моль).

Здесь , , , , I, J, N - символические обозначения размерности основных единиц. Считается, что эти единицы имеют независимую размерность, т.е. их размерность нельзя выразить через размерность других величин. Размерность любой производной величины может быть выражена через размерность основных единиц степенным одночленом

. (7.3)

Конкретный вид математического выражения для производной (зависимой) единицы измерения вытекает из определения этой физической величины или определяющего ее физического закона.

Например, размерность силы выражается формулой = , давления - = и т.п.

Часто одна и та же единица может быть записана по-разному, с помощью разного набора основных и производных единиц, поэтому на практике используются установленные (или просто общепринятые) выражения, которые наилучшим образом отражают физический смысл величины.

Для удобства некоторым производным единицам присвоены собственные названия, такие единицы можно использовать в математических выражениях для образования других производных единиц. Например, единица измерения силы - Ньютон (); давления - Паскаль () и т.п.

Основная теорема теории размерностей " p - теорема" формулируется следующим образом [Исаченко]: физическое уравнение, содержащее n (n³2) размерных физических величин x_i, из которых k (k³1) имеют независимую размерность

(7.4)

может быть приведено к безразмерному виду, содержащему безразмерных величин

. (7.5)

Величины в уравнении (7.4) - это величины с независимой размерностью. Естественно, что k не может превышать числа основных единиц в данной системе измерения (в частности, для системы СИ ).

Величины - это величины с зависимой размерностью, их размерность можно выразить через размерность других k величин в виде степенного одночлена:

, . (7.6)

Безразмерные величины p_i, составленные из определяющих величин, называются критериями подобия. Теория подобия (или размерностей) не позволяет установить конкретный вид функциональной зависимости между критериями подобия. Критериальные уравнения получают на основе обработки экспериментальных данных.