В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок

Координатами вектора с началом в точке А₁(х₁; у₁; z₁) и концом в точке А₂ (х₂; у₂; z₂) называются числа х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ – z_1.

Равные векторы имеют равные координаты, и обратно. Это дает основание для обозначения вектора его координатами:

Модуль вектора заданного своими координатами:

При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:

Скалярным произведением векторов называется число: где - угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Косинус угла между векторами и находится по формуле:

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид:

Задача 1. Даны четыре точки А (2; 7;-3), В(1; 0; 3), С(-3; -4; 5), D(-2; 3; -1). Укажите среди векторов , , , , и равные векторы

Решение. Надо найти координаты указанных векторов и сравнить соответствующие координаты. У равных векторов соответствующие координаты равны. Например, у вектора координаты: 1 – 2 = -1, 0 – 7 = -7, 3 – (- 3) = 6. У вектора такие же координаты: -3 – (-2) = -1, -4 – 3 = -7, 5 – (- 1) = 6. Таким образом, векторы и равны. Другой парой равных векторов будут и .

Задачи

Цель. Учиться использовать координатный метод для определения взаимного расположения векторов в пространстве; использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

1.Даны три точки А (1; 0; 1), В (-1; 1; 2), С (0; 2;-1). Найдите точку D(х; у; z), если векторы и равны.

2.Даны векторы (2; п; 3) и (3; 2; т). При каких значениях т и п эти векторы коллинеарны?

3.При каком значении п данные векторы перпендикулярны:

1) а (2; -1; 3), в (1; 3; п),

2) а (п; -2; 1), в (п; -п; 1), 3) а (п; -2; 1), (п; 2 п; 4), 4) а (4;2 п; -1), в (-1; 1; п)?

4.Даны три точки А (1; 0; 1), В (-1; 1; 2), С (0; 2;-1). Найдите на оси z такую точку D (0; 0; с), чтобы векторы и были перпендикулярны.

5.Даны четыре точки А (0; 1; -1), В (1; -1; 2), С (3; 1; 0), D (2; -3; 1). Найдите косинус угла φ между векторами и .

6. Даны три точки А (0; 1; -1), В (1; -1; 2), С (3; 1; 0). Найдите косинус угла С треугольника АВС.