2015-04-20
8391
.
1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле 
, 
.
2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника 
, 
.
Рис.81
3) вычислим объём пирамиды
.
Ответ. 9
Задача 2. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен 
, а боковые ребра пирамиды равны 6.(рис.81)
Решение.
1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. 
, тогда 
.
2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , 
.
3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , 
.
4) из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора находим высоту пирамиды: 
, 
.
5) вычислим объём пирамиды
.
Ответ. 18 
.
Задача 3. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен , а высота пирамиды равны 1 (рис.82)
Решение.
1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .
2) найдем периметр основания Р = 3· а,
Р = 9.
Рис.82
3) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса
описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда 
.
4) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим апофему МР:
,
МР = 
5) вычислим площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
, 
.
Ответ. 
.
Задача 4. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна 
(рис.52)
Решение. ,
1) найдем радиус описанной около основания и вписанной в основание окружностей: , 
то есть 
.
2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , 
.
3) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим высоту: 
, МО = 
.
4) вычислим объём правильной пирамиды: = 
.
Ответ. 18.
Задача 5.
Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна 
(рис.53)
Решение. 
1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. 
, тогда 
.
2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле 
, 
.
3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника 
, 
.
4) вычислим объём правильной пирамиды: = 
Ответ. 36.
Рис.86
Задача 6. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если её ребра равны 5, а радиус окружности, описанной вокруг основания равен 3 (рис.87)
Решение.
1) найдем сторону основания по формуле 
, т.е. 
.
2) найдем периметр основания: Р = 4 а,
Р = 24.
3) из прямоугольного треугольника МDР по теореме Пифагора находим апофему МР: 
, DP = 
Тогда: МР = 
.
Рис.87
4) вычислим площадь боковой поверхности пирамиды: = 
.
Ответ. 48.
Задача 7. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 16 а площадь основания 4. Найдите высоту пирамиды (рис.88)
