Теория подобия применительно к тепловым процессам

При экспериментальном изучении тепловых процессов принято вы­ражать математическое описание процесса и расчетные уравнения в ви­де зависимостей между числами (критериями) подобия, представляю­щими собой безразмерные комплексы.

Уравнения подобия, выражая обобщенную зависимость между величинами, характеризующими процесс, справедливы для всех подобных между собой процессов. Первая теорема подобия: для подобных между собой процессов все одноименные числа подобия численно одинаковы, например Re=idem, Pr = idem. Согласно второй теореме подобия связь между числами подобия выражается в форме однозначной функциональной зависимости, например N =f (Re, Рr, Gr,.).

Третья теорема подобия утверждает, что условия подобия физи­ческих явлений, заключаются в подобии условий однозначности и ра­венстве одноименных чисел подобия, составленных из величин, входя­щих в эти условия.

5.1. Числа теплового и гидромеханического подобия процессов.

Нуссельта число – безразмерный коэффициент теплоотдачи.

(5.1.)

Где - теплопроводность жидкости; - характерный линейный размер.

Средний коэффициент теплоотдачи в формуле (5.1.)

Относят к начальному температурному напору.

(5.2.)

К среднеарифметическому напору

(5.3.)

Или к среднелогарифмическому напору

(5.4.)

Где - средняя температура стенки, - температура набегающего потока или средне массовая температура на входе в трубу, в теплообменник, - средняя температура жидкости на выходе из трубы, теплообменника.

Если < 2, то вместо (5.4.) можно использовать (5.3.), т.е.

(5.5.)

Прандтля число – безразмерная характеристика теплофизических свойств жидкости.

(5.6.)

Где и - кинематическая м²/с, и динамическая Па, вязкость. ; и - площадь кг/м² и изобарная массовая теплоемкость, Дж/(кг*К), жидкости; - температуропроводность жидкости м²/с.

Пекле число – критерий теплового подобия

(5.7.)

Где Re – число Рейнольдса; - характерная скорость потока, м/с.

Стантона число - критерий внутреннего конвективного переноса теплоты.

(5.8.)

Фурье число – критерий тепловой гомохронности.

(5.9.)

Где - время протекания нестационарного процесса теплопроводности.

Био число – критерий краевого подобия

(5.10.)

Где - характерный линейный размер твердого тела, - теплопроводность твердого тела.

Тепловой критерий фазового перехода.

(5.11.)

Где - теплота испарения (конденсата), Дж/кг, - разность температур насыщения и перегрева (переохлаждения) фазы, - разность энтальпий фазы в состояниях насыщения и перегрева (переохлаждения).

Галилея число – критерий подобия полей свободного течения.

(5.12.)

Где - ускорение свободного падения м/с²

Грасгофа число – критерий свободной тепловой конвекции

(5.13.)

Где - коэффициент объемного расширения, К^-1, для идеальных газов ; для капельных жидкостей приближенно ; где и - плотность жидкости при и . Для воды можно определить по табл. 3 приложения.

Релея число – критерий теплообмена при свободной конвекции.

(5.14.)

Фруда число – критерий гравитационного подобия, характеризует меру отношения сил инерции и тяжести в потоке.

(5.15.)

Рейнольдса число – критерий режима движения жидкости.

(5.16.)

Эйлера число – критерий подобия полей давления.

(5.17.)

Где - перепад давления на участке движения жидкости.

Архимеда число – критерий свободной конвекции.

(5.18.)

Где и - плотность жидкости в двух точках потока.

Определяющая температура, по которой выбираются теплофизические свойства жидкости или газа, входящие в числа подобия, указы­вается нижним индексом возле числа подобия: «ж», «с», «п.с» - соот­ветственно средняя температура жидкости, стенки, пограничного слоя. Например,

; ; .

Определяющий геометрический размер также может быть указан нижним индексом возле числа подобия: l и h - длина и высота по­верхности, d - диаметр трубы и т. п. Например,

; .

5.2. Задачи

5.1. Определить значения чисел Nu, Re, Gr, Eu, Pe для следующих условий: среда движется по трубе диаметром 24x2 мм и длиной 2 м, ее расход 50 кг/ч. На входе температура среды 80 °С, на выходе 40 °С, средняя температура стенки трубы 25 °С. Сопротивление движению среды 400 Па. В качестве среды принять воду и воздух. Определяющие параметры - средняя температура среды и внутренний диаметр трубы.

5.2.Азот при температуре 200 °С и абсолютном давлении 10⁶ Па движется в трубе со скоростью 10 м/с. Для исследования гидродинамического процесса построена уменьшенная в 4 раза модель, где дви­жется вода с температурой 20°С. Определить скорость воды в модели.

5.3.Температурное поле в длинном цилиндре диаметром 200 мм исследуется по истечении 30 и 60 мин с помощью модели. Теплопровод­ность и температуропроводность материала цилиндра 15 Вт/(м-К) и 20*10^-4 м²/с, материала модели 4 Вт/(м*К) и 8*10^-4 м²/с. Найти диа­метр модели и время, когда в модели следует измерять распределение температур. Принять коэффициент теплоотдачи для цилиндра 9,8 и для модели 35 Вт/(м²*К).

5.4.Найти кинематическую вязкость для жидкости в модели, где изучается теплообмен при вынужденной конвекции, если коэффициент температуропроводности жидкости 0,8*10^-6 м²/с. В образце в виде трубы движется воздух с температурой 180 °С и абсолютным давле­нием 10⁵ Па.

5.5.Модель вала изготовлена из материала с теплопроводностью 27,2 Вт/(м*К), теплоемкостью 4 кДж/(кг*К) и плотностью 510 кг/м³. Модель помещена в нагреватель. После 22,4 мин нагрева производится измерение температур в модели, по этим замерам определяется распре­ деление температур в образце - стальном вале - после 2 ч нагрева его в печи. Стальной вал имеет диаметр 400 мм, температуропроводность 11*10^-6 м²/с, а коэффициент теплоотдачи в печи 110 Вт/(м²*К). Най­ти диаметр модели и коэффициент теплоотдачи в нагревателе.

5.6.Шар диаметром 0,4 м с температурой 600 °С должен охлаж­даться в масляной ванне, где поддерживается температура 100 °С. Рас­пределение температуры в шаре после охлаждения в течение 10 мин должно быть изучено на бетонной модели диаметром 0,6 м, которая после разогрева до 110°С охлаждается в воздухе с температурой 10 °С. Через сколько минут следует начать измерение температур в модели? Определить соотношение температур в образце и модели в сходствен­ных точках. Температуропроводность материала шара 13,3*10^-6, бето­на 5,0*10^-6м²/с.

5.7.Для измерения расхода газа в трубопровод диаметром 270 мм поставили диафрагму. Ее размеры были определены после испытаний на модели, уменьшенной в 3 раза. Во время испытаний через модель пропускалась вода с температурой 30°С, при расходе воды более 28 м³/ч наблюдался автомодельный режим. Найти минимальный рас­ход газа для автомодельного режима, а также соответствующие этому расходу скорость газа и гидравлическое сопротивление (сопротивление на модели составило 280 мм рт. ст.). Принять плотность газа 0,9 кг/м³, кинематическую вязкость 14*10^-6 м²/с.

5.8. Теплоотдача в газоходе котла исследовалась на модели в ¼ натуральной величины. При этом были получены коэффициенты теплоотдачи при различных скоростях воздуха, представленные ниже:

α, Вт/(м2*К)
ω,м/с

Наружный диаметр труб модели 14 мм, на стенке трубы темпера­тура 30°С. Воздух имел температуру 70 °С при 1,013*10⁵ Па. По дан­ным испытаний на модели получить формулу и указать пределы ее применимости по Re. Используя полученную фор­мулу, найти для натурного газохода тепловой поток, передаваемый дымовыми газами стенкам труб, если газы движутся со скоростью 10 м/с и имеют на выходе 800°С, на входе 1000°С. Температура сте­нок труб 300 °С, поверхность нагрева 600 м². Состав дымового газа:

5.9.При изучении теплообмена на модели в условиях естествен­
ной конвекции между горизонтальной трубой с температурой t_c и воз­духом получены следующие данные:

tc, °C
α, Вт/(м2*К)	9,34	10,35	10,76

Труба наружным диаметром 45 мм была помещена в воздух с тем­пературой 20 °С. По измерениям на модели найти обобщенную зависи­мость в виде формулы , используя которую, опре­делить теплоту, передаваемую за 5 ч от горизонтальной трубы диа­метром 10 мм и длиной 4 м к воде с температурой 40 °С. Температура поверхности трубы равна 60°С.

5.10. На воздушной модели котла производилось изучение тепло­отдачи при вынужденной конвекции, и при различных скоростях воз­духа были получены представленные ниже коэффициенты теплоотдачи:

ω,м/с	2,0	3,14	8,8
α, Вт/(м2*К)	50,5	68,6	141,2

В модели средняя температура воздуха 20 °С, трубы имеют диа­метр 14 мм. По данным, полученным на модели, определить значения С и n в формуле . Используя полученную формулу, найти поверхность нагрева натурного котла, если скорость дымовых газов в газоходе 8 м/с, а средняя температура газов 800 °С. Трубы диаметром 80 мм имеют на поверхности температуру 300 °С. Переда­ваемый тепловой поток 1,2 МВт. Состав дымовых газов:

5.11. Трубчатый воздухоподогреватель должен работать при средней температуре воздуха t и скорости его движения ω. Для исследо­вания процесса течения создана модель в масштабе, по которой движется жидкость с t_мод =40° С, Найти скорость ω_мод движения жидкости в модели. Данные для решения задачи взять из таблицы.

5.12. Для изучения процесса теплообмена при свободной конвекции среды в большом объеме около вертикальной поверхности создана экспериментальная установка в виде плиты высотой 290 мм, нагрев которой осуществлялся электрическим током. Температура воздуха вдали от плиты равна 20°С.

Таблица к задаче 5.11

Вариант	t, °С	ω, м/с	Вариант	т	Род жидкости
			А	1/5	Вода
			Б	5/1	Трансформаторное масло
			В	1/10	Вода
			Г	20/1	Масло МК
			Д	1 20	Вода

Во время экспериментов измерялся температур­ный напор между поверхностью плиты и воздухом и определялся ко­эффициент теплоотдачи. Экспериментальные данные приведены ниже:

∆t = tс - tж, °С
α, Вт/(м2*К)	5,6	6,7	7,4	7,9	8,5

Определить уравнение подобия, связывающее числа подобия, характеризующие данный процесс.