Расчетно-графическая работа № 1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М., Высшая школа, 1995

2. Атаров Н.М., Насонкин Ю.Д. Примеры решения задач по сопротивлению материалов. М., МИСИ им.В.В.Куйбышева, ч.1, 1988, ч.2, 1989.

3. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М., АСВ, 1995.

4. Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А., Павлов В.В. Сопротивление материалов с основами строительной механики. М., АСВ, ч.1, 1999.

5. Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А., Павлов В.В. Сопротивление материалов с основами строительной механики. М., АСВ, ч.2, 1999.

6. Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А., Павлов В.В. Сопротивление материалов с основами строительной механики. М., АСВ, ч.3, 2000.

7. Павлов В.В.,Шаблинский Г.Э. и др. Методические указания к выполнению лабораторного практикума по сопротивлению материалов. М., МИСИ, 1985.

8. Павлов В.В., Шаблинский Г.Э., Кузнецов В.В. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов. М., МИСИ, 1986.

9. Атаров Н.М., Рождественский Ю.В. Справочный материал для решения задач по "Сопротивлению материалов". М., МИСИ, 1989.

Московский государственный строительный

университет

Кафедра сопротивления материалов

Расчетно-графическая работа № 1

“Геометрические характеристики поперечных

сечений стержней”

Курс	Факультет	Группа	Фамилия, и.о.	№

Дата выполне- ния работы	Дата защиты работы	Балл	Подпись преподавателя	Фамилия,и.о. преподавателя

Москва 2006

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ

ЗАДАЧА № 1

Для сечений, имеющих одну ось симметрии, по схемам №1-16 при размерах, указанных в таблице 1, требуется определить:

1) положение центра тяжести;

2) положение главных центральных осей инерции и величины главных

моментов инерции.

ЗАДАЧА № 2

Для несимметричных сечений по схемам №17-32 при размерах, указанных в таблице 1, требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) вычислить осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей;

3) определить положение главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции;

4) построить круг инерции и определить графически величины главных моментов инерции и направления главных центральных осей;

5) сравнить результаты аналитического и графического расчетов.

Таблица 1

№	Номер двутавра	Номер швеллера	Равнобокий уголок, мм	Неравнобокий уголок, мм	Лист, мм	а, см
			80х80х6	100х63х8	160х10
			90х90х6	110х70х8	160х12
			90х90х8	125х80х7	180х10
			100х100х8	125х80х8	180х12
			100х100х12	125х80х10	200х10
			110х110х7	140х90х8	200х12
			110х110х8	140х90х10	200х16
			125х125х8	160х100х10	220х12
			125х125х10	180х110х10	220х14
			140х140х12	180х110х12	240х16
			160х160х12	200х125х14	240х20
			160х160х16	200х125х16	300х16
			200х200х16	250х160х12	350х16
			220х220х16	250х160х16	400х20

	а
	2а а
2a a	3a
4a
	2a
a 3a	2а
Равнобокий уголок Неравнобокий уголок
Равнобокий уголок
Неравнобокий уголок

Равнобокий уголок
Неравнобокий уголок

Методические указания к решению задач №1 и №2

В задачах №1 и №2 требуется найти положение главных центральных осей и вычислить значения главных центральных моментов инерции.

Главными центральными называются оси, проходящие через центр тяжести, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, а центробежный момент инерции обращается в ноль. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции и обозначаются J₁=J_max, J₂=J_min.

Ось симметрии и любая ось, ей перпендикулярная, составляют пару главных осей.

В Задаче № 1 необходимо найти положение центра тяжести сечения и провести через центр тяжести главные центральные оси Оx и Оy. Далее с помощью зависимостей между моментами инерции относительно параллельных осей необходимо найти осевые моменты инерции J_x, J_y и по их значениям определить, какая из осей является осью максимального момента инерции, а какая осью минимального момента инерции, например J_x=J_1, , J_y=J₂.

В Задаче №2 сечение не имеет осей симметрии. Поэтому величины главных моментов инерции и положение главных центральных осей определяются по формулам:

(1)

где α₁, α₂ - углы, определяющие положение главных осей; J_x, J_y, J_xy - осевые и центробежный моменты инерции относительно произвольных осей, проходящих через центр тяжести.

Решение задачи №2 проводится в следующем порядке:

1. Сечение разбивается на элементы, для которых вычисляются необходимые геометрические характеристики - площади и моменты инерции относительно осей, проходящих через центры тяжести элементов;

2. Находится положение центра тяжести сечения.

3. Через центр тяжести проводятся произвольные оси Оx, Оy и при помощи зависимостей между моментами инерции относительно параллельных осей находятся осевые J_x, J_y и центробежный J_xy моменты инерции.

4. По формулам (1) вычисляются величины главных моментов инерции и находится положение главных осей сечения.

В графической части работы необходимо начертить в масштабе сечение и указать основные размеры. Представить разбиение сечения на простые элементы, через центры тяжести которых провести оси O_ix_i , O_iy_i и показать главные центральные оси Ox, Oy. При решении следует отдельно начертить элементы, входящие в состав сечения, для которых необходимо записать геометрические характеристики с учетом положения в сечении и принятой системы координат. Графическое определение главных моментов инерции производится с помощью круга Мора, который должен быть построен на отдельном листе формата А4.

Контрольные вопросы

1.Назовите основные геометрические характеристики поперечных сечений.

2.Как определяется положение центра тяжести сечения?

3.Какие оси называются центральными осями?

4.Напишите зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей.

5.Как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей?

6.Какие оси и какие моменты инерции называются главными?

7.Напишите значения моментов инерции для простых сечений: прямоугольника, треугольника, круга, полукруга.

8.В какой последовательности определяется положение главных центральных осей для составных сечений?

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ

В ЭЛЕМЕНТАХ, РАБОТАЮЩИХ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

ЗАДАЧА № 1

Для статически определимого стержня ступенчато постоянного сечения по схеме №… при осевых нагрузках и геометрических размерах по строке №… требуется:

1.Определить опорную реакцию в месте закрепления стержня.

2.Вычислить значения продольных сил и нормальных напряжений в характерных сечениях и построить эпюры этих величин.

3.Найти величины абсолютных удлинений (укорочений) участков стержня и величину общего удлинения (укорочения) стержня в целом.

4.Определить значения осевых перемещений характерных сечений и построить эпюру осевых перемещений.

Таблица 1

№	a, м	F, см2	Р1, кН	Р2, кН	q1, кН/м	q2, кН/м	Е, МПа
	0,4						2,0·105
	0,6						0,7·105
	0,8						1,0·105
	1,0						2,0·105
	1,2						0,7· 05
	0,4						1,0·105
	0,6						2,0·105
	0,8						0,7· 05
	1,0						1,0·105
	1,2						2,0·105
	0,4						0,7·105
	0,6						1,0·105
	0,8						2,0·105
	1,0						0,7· 05
	1,2						1,0· 05
	0,4						2,0·105
	0,8						0,7· 05
	1,6						1,0·105
	0,9						2,0·105
	1,0						0,7· 05
	0,5						1,0·105
	1,0						2,0·105

Р1 F q2 2F 4F P2	4F P1 2F q1 P2	P1 F q1 4F P2 2F q2	3F q1 P1 4F q2 P2
F q1 4F q2 2P2 2F	2F q1 2P1 3F q2	2F P1 3F q1 F q2	P1 2F q1 4F 2P2 q2

3F P1 4F q1 F q2 2P2	P2 3F q2 2P1 F 2q1	F q2 4F 2P1 F q1 P2	P1 2F P2 2q1 3F q2
2F q1 P1 F P2 3F q2	P2 2F q1 P1 P1 3F q1 4F q2	3F q1 2P2 F 2F q2 P1	4F q1 3F P1 F q2

ЗАДАЧА № 2

Для статически неопределимой стержневой системы, состоящей из абсолютно жесткой балки AB и поддерживающих ее стальных стержней 1 и 2 по схеме №…. при геометрических размерах, соотношениях площадей поперечных сечений стержней F₂/F₁ и величине нормативной нагрузки Р, указанных в строке № …. табл.2, требуется:

1.Определить расчетное значение нагрузки, приняв коэффициент надежности по нагрузке γ_f = 1,2.

2.Определить усилия в стержнях системы. Собственную массу элементов стержневой системы не учитывать.

3.Подобрать сечения стрежней в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков, используя метод расчета по предельным состояниям. При подборе сечений обеспечить заданное соотношение площадей F₂/F₁. Расчетное сопротивление по пределу текучести стали марки ВСТ3 принять равным 210 МПа, коэффициент условий работы γ_с = 0,9.

4.Определить величины нормальных напряжений в поперечных сечениях стержней и проверить выполнение условий прочности.

5.Определить величины удлинений стержней, приняв Е =2,1·10⁵ МПа.

6.Определить нагрузку Р_т, при которой в системе возникают первые пластические деформации, считая, что материал стержней следует диаграмме Прандтля и имеет предел текучести σ_т = 240 МПа.

7.Определить разрушающую нагрузку Р_разр, при которой система полностью исчерпывает свою несущую способность.

Таблица 2

№	a, м	b, м	h, м	F2/F1	Р, кН
	1,3	0,9	1,1	1,2
	1,0	0,7	0,8	1,3
	1,2	0,9	0,9	1,1
	1,4	0,8	1,0	1,5
	1,5	0,7	1,4	1,2
	1,1	0,8	1,0	1,5
	1,0	0,8	0,9	2,0
	1,2	0,8	1,2	1,4
	0,9	0,8	0,7	1,8
	1,0	1,0	0,7	2,0
	1,3	1,0	0,8	1,0
	1,2	0,7	1,0	1,7
	1,4	0,8	1,3	1,3
	1,2	1,0	0,8	1,9
	0,9	0,9	1,1	1,0

1 2 a b a P	1 2 A B 2a 2b P
1 2 P a a 2b	1 2 P a a b
1 2 P a b a	2 1 3b P
1 2 P a b a b	1 2 P b 2a b
1 P 2 a a 2b	1 2 P a a 2b
2 1 P a b b	1 2 P a 2b a
1 2 P a b a b	1 2 P a 2b
B B A A 1 2 P 0,5a a 2b	1 2 P a 2b a

Методические указания к решению задач №1 и №2

При решении задачи № 1 расчет стержня ступенчато постоянного сечения следует начинать с определения опорной реакции с использованием уравнения равновесия ΣX = 0, а начало координат расположить в опорном сечении.

Эпюра продольных сил N строится при помощи метода сечений, для чего необходимо показать характерные сечения по длине стержня. В отсеченной части стержня должна быть показана положительная (растягивающая) продольная сила. Контроль правильности построенной эпюры N следует проводить с использованием дифференциальной зависимости dN/dx=-q(x). На участках, где q(x) =0, продольная сила N должна быть постоянной, а на участках, где q(x) = const, продольная сила изменяется по линейному закону.

Эпюра нормальных напряжений строится с использованием формулы

σ = N/F. Значения N и σ, полученные в начале и конце характерных сечений, откладываются от оси стержня с указанием знака; производится штриховка эпюр.

Эпюра осевых перемещений u(x) строится с использованием формулы

Для определения осевого перемещения в сечении с координатой " x " необходимо вычислить площадь эпюры нормальных напряжений между опорным сечением и рассматриваемым сечением. Для определения абсолютного удлинения стержня Δ l необходимо вычислить всю площадь эпюры нормальных напряжений: .

При оформлении графической части работы на листе формата А4 необходимо изобразить стержень с геометрическими размерами и нагрузками, указать характерные сечения и в выбранном масштабе построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и осевых перемещений u(x).

В задаче № 2 необходимо определить усилия N₁ и N₂ в стержнях 1 и 2 по методу предельных состояний от действия расчетной нагрузки Р_расч = Р_н γ_f , где Р_н - нормативная нагрузка, γ_f - коэффициент надежности по нагрузке.

Так как задача является статически неопределимой и уравнений равновесия недостаточно для определения неизвестных усилий, то для решения задачи необходимо рассмотреть геометрическую схему деформаций и получить зависимость между абсолютными удлинениями Δ l₁, Δ l₂: Δ l₁ = k₁ Δ l₂

Абсолютные удлинения стержней Δ l₁, Δ l₂ нужно выразить через усилия в стержнях N₁, N₂ и получить дополнительное уравнение, связывающее между собой усилия в стержнях N₁ = k₂N₂, где k₂ - коэффициент, зависящий от геометрических параметров системы и соотношения площадей стержней F₂ / F₁.

Для определения усилий в стержнях 1 и 2 следует воспользоваться уравнением равновесия ΣМ_А = 0 и уравнением N₁ = k₂N₂.

Подбор сечений стержней 1 и 2 производится по формулам:

После определения площадей сечений необходимо проверить заданное отношение площадей стержней F₂/F₁. Изменив площади поперечных сечений при невыполнении заданного отношения F₂/F₁, подбираем по сортаменту сечения стержней 1 и 2 в виде двух равнобоких уголков.

Проверка выполнения условий прочности производится по формулам:

Абсолютные удлинения определяются по формулам:

При выполнении пунктов 6,7 принимается упрощенная диаграмма зависимости между напряжениями σ и деформациями ε (диаграмма Прандтля). Согласно диаграмме Прандтля при напряжениях в стержнях, равных пределу текучести σ_т деформации неограниченно возрастают.

σ

σ_т

ε

Для определения нагрузки Р _т, при которой в системе возникают первые пластические деформации, необходимо согласно проведенному расчету установить наиболее напряженный стержень, в котором при возрастании нагрузки возникнут напряжения, равные пределу текучести, и соответствующее усилие N = σ_т F. Тогда усилие во втором стержне определится из равенства N₁ = k₂N₂, а нагрузка Р _т - из уравнения равновесия системы ΣМ_А = 0.

Для определения разрушающей нагрузки Р_разр необходимо рассмотреть предельное состояние системы, при котором в обоих стержнях возникают напряжения, равные пределу текучести σ₁ = σ_т, σ₂ = σ_т и соответствующие усилия N₁ ^т = σ_т F₁, N₂ ^т = σ_т F₂. Разрушающая нагрузка определяется из уравнения равновесия системы в предельном состоянии ΣМ_А = 0.

В графической части работы необходимо на листе формата А4 изобразить схему статически неопределимой системы с необходимыми геометрическими размерами, показать нагрузку Р, горизонтальную и вертикальную составляющие опорной реакции в шарнире А и усилия в стержнях N₁, N₂; показать геометрическую схему деформации;начертить диаграмму Прандтля;изобразить схему стержневой системы с необходимыми геометрическими размерами, показать нагрузку Р_разр, усилия в стержнях N ₁^т и N₂ ^т,действующие в предельном состоянии.

Контрольные вопросы

1.Что такое центральное растяжение (сжатие) стержня?

2.Как определяются продольные усилия и нормальные напряжения в стержне?

3.Как вычислить абсолютные удлинения (укорочения) и осевые перемещения поперечных сечений стержня?

4.Перечислите основные механические характеристики материалов.

5.Каким соотношением связаны между собой продольные и поперечные деформации?

6.Запишите закон Гука.

7.Назовите методы расчета конструкций на прочность.

8.Что такое допускаемое напряжение и расчетное сопротивление?

9.Какие коэффициенты используются в методе расчета на прочность по предельным состояниям?

10.Что такое жесткость стержня при растяжении (сжатии) и какова ее размерность?

11.Какие задачи называются статически неопределимыми? Назовите основные принципы решения статически неопределимых задач.

12.Нарисуйте диаграмму Прандтля.

13.Как определить несущую способность системы исходя из условий прочности?

14.Как определяется разрушающая нагрузка для стержневой системы в пластической стадии работы материала?

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3

ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В СТЕРЖНЯХ

ЗАДАЧА № 1

Для стержней, балок и стержневых систем по заданию № … (табл.1) при числовых значениях размеров и нагрузок по строке № … (табл.2) требуется:

1.Определить опорные реакции;

2.Вычислить величины внутренних усилий в характерных сечениях и построить эпюры внутренних усилий.

Таблица 1

№

№

Таблица 2

№	a, м	b, м	c, м	Р1, кН	Р2, кН	q1, кН/м	q2 , кН/м	m, кН·м
	3,0	2,0	1,0
	2,0	2,1	1,2
	3,0	2,2	2,0