Элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть даны две функции x = φ(t) с областью определения Т и множеством значений Х, и y = f(x) с областью определения Х и множеством значений Y.

Тогда «цепное правило: _{φ f}

t ® x ® y

определяет новую функцию с областью определения Т. Эта новая функция обозначается y = f (φ(t)) и называется сложной функцией.

Если x = φ(t) – непрерывна в t₀ Þ y = f (φ(t)) – непрерывна в t₀

y = f(x) – непрерывна в x₀ = φ(t₀)

Доказательство:

x = φ(t) – непрерывна в t₀ Û Δt ® 0 Þ Δφ ® 0 (Δx ® 0)

y = f(x) – непрерывна в x₀ Û Δx ® 0 Þ Δf ® 0

↓

Δt ® 0 Þ Δx ® 0 Þ Δf ® 0 (Δt ® 0 Þ Δf ® 0)

y = f(φ(t)) – непрерывна в t₀