2015-05-05
484
Найдем ур-е касательной к графику Г ф-и y=f(x) в точке А(х0, f(x0)): т.к. т. А принадлежит Г и ур-ю касательной, то f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0)-kx0, значит, касательная задается след. Ур-м:
y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(х-x0)
Т.к. k= f′(x0), то
y=f(x0)+ f′(x0)(х-х0).
Односторонние производные.
Правой(левой) производной от y=f(x) в точке x0 называется предел f′(x0)=lim (f(x+Δx)-f(x0))/Δх при Δх→0+0(Δх→0-0).
Если левая и правая производные функции в точке x0 сущ-т, и они равны, то производная f′(x0) сущ-т и равна им. Если же левая и правая производные функции в точке x0 не равны, то y=f(x) не имеет производной в точке x0.
Правила дифференцирования
Теорема. Если функции u=f(x), v=g(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке ч0 и выполняются следующие формулы:
(U+(-)v)′=u’+(-)v’
(uv)’= u’v + uv’
(u/v)’= (u’v - uv’)/v2
Производная сложной и обратной функций.
Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке t0, g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в точке t0 и выполняется след. Формула:
|
|
|
f’(g(x))=f’(x0)*g’(t0)
Теорема. Если y=f(x) имеет обратную ф-ю x=g(y) и в точке х0 производная f′(x) не равна 0, то обратная функция g(y) диф-ма в точке y0=f(x0) и
g’(y)=1/f(x0)
Производная элементарных функций.
Обл. определения производной f’(x) явл. множество всех точек x0, в которых y=f(x) имеет конечную производную.
Производная каждой элементарной ф-и явл. элементарной ф-ей.
Производная логарифмической ф-и: (logax)’=1/xlna
Производная показательной ф-и: ax= ax lna
Производная степенной ф-и: ( xa)’ = axa-1
Производная тригонометрической функции:
(Sinx)’=cosx
(cosx)’=-sinx
(tgx)’=1/cos2x
Производные обратных тригонометрических функций:
(Arcsinx)’=1/(1-x2)1/2
(Arccosx)’=-1/(1-x2)1/2
(arctgx)’=1/(1+ x2)
