(конкретные числовые примеры по данному вопросу см. в лекции за 21.03.00)
Рассмотрим интегал вида òR(x)dx, где R(x) – рациональная функция, т.е функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов R(x)=P(x)/Q(x). Если эта дробь неправильная, то можно выполнить деление с остатком и представить R(x) в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.
Теорема. Всякая правильная дробь может быть представлена как сумма простейших дробей вида
A; A; Mx+N; Mx+N.
x-a (x-a)n x2+px+q (x2+px+q)n
, где A,M,N,a,p,q – действительные числа.
Непростейшие дроби.
Лемма 1. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если х=а- корень Q(x) кратности К,т.е. Q(x)=(x-a)K*Q1(x), где Q1(a) не равно нулю, то F(x) = AK + F1(x)
Q(x) (x-a)K Q1(x)*(x-a)K-1
Лемма 2. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если Q(x)=(x2+px+q)K*Q1(x) Þ
F(x) = MKx+NK + F1(x).
Q(x) (x2+px+q)K (x2+px+q)K-1*Q1(x)
Теорема разложения правилоной дроби на простейшие. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если Q(x)=(x-a)a(x-b)b*…*(x-c)g(x2+p1x+q1)K*…*(x2+p2x+q2)m Þ эта дробь разлагается в сумму простейших дробей следующего вида:
F(x) = Aa + Aa-1 +…+ A1 + Bb + Bb-1 +…+ B1 + Cg + Cg-1 +…+ C1 +
|
|
Q(x) (x-a)a (x-a) a-1 x-a (x-b)b (x-b) b-1 x-b (x-c)g (x-c) g-1 x-c
+ MKx+NK + MK-1x+NK-1 +…+ M1x+N1 + Cmx+Dm + Cm-1x+Dm-1 +…+ C1x+D1
(x2+p1x+q1)K (x2+p1x+q1)K-1 x2+p1x+q1 (x2+p2x+q2)m (x2+p2x+q2)m-1 x2+p2x+q2
Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
Трансцендентная функция – аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. (Например, показательная функция тригонометрической функции.)
òR(x,xm1/n1,…xmk/nk)dx, где R – рациональная функция от х и её дробных степеней. Такой интеграл может быть решён с помощью замены степени с дробным показателем на степень функции с целым показателем. (подробнее см. в лекциях)
.
òR(x,ÖAx2+Bx+C)dx Под корнем выделяется полный квадрат и решается с помощью замены переменной.
..
òdx/Ö Ax2+Bx+C, òÖ Ax2+Bx+C dx