Несобственые интегралы с бесконечными пределами

Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке [a;+∞], интегрируема на любом [a;b] (b>a). Сущ-т ∫_a^b f(x)dx для любого b>a. Обозначим ∫_a^b f(x)dx = Ф(b).

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от ф-и y=f(x) мы назовем предел вида ∫_a^∞ f(x)dx=lim Ф(b) при b→+∞. Этот инт-л наз. Сходящимся, если предел ф-и lim Ф(b) при b→+∞ сущ-т и конечен. В противном случае он наз расходящимся.

Аналогично определяем несобственный инт-л с бесконечным нижним пределом. Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке (-∞;в], интегрируема на любом [a;b] (a<b). Сущ-т ∫_a^b f(x)dx для любого a<b, Обозначим ∫_a^b f(x)dx = Ф(a), ∫_-∞^b f(x)dx = lim Ф(a) при а→–∞. Этот инт-л наз сходящимся, если предел сущ-т и конечен, в противном случае – расходящимся.

Несобственный инт-л с бесконечными нижним и верхним пределами. ∫_-∞^∞ f(x)dx

y=f(x) опред-на и непрерывна на (–∞;∞) и интегрируема для любого [а;b]. Возьмем произвольную точку с на (–∞;∞). Имеем: ∫_-∞^∞ f(x)dx = ∫_-∞^с f(x)dx + + ∫_с^∞ f(x)dx (1)

Если сущ-т несобственные интеграл с бесконеч. Верхним пределом и несоб. Инт-л с бесконечным нижним пределом, и они оба сходятся, то сходится и несобственный интеграл с бесконечным верхним и нижним пределом. В этом случае сумма (1) не зависит от выбора точки с.

Геометрич. смысл несобственного интеграла.

Пусть y=f(x) неотрицат. Непрерывная на [a;b). Для каждого b>a определенный инт-л ∫_a^b f(x)dx = S aABb. Мысленно перемещая Bb вправо, получим ∫_a^∞ f(x)dx=SaA∞.

A

B

a b