Проверка аналитических гипотез

1. Сравнение двух средних норм генеральных совокупностей, дисперсии коттрых известны.

2. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии, которых неизвестны и одинаковы.

Дано Х и У – случайные величины с нормальными распределениями.

Найдены Хср. и Уср. Известно – G²_x=G²_y=G²

MX=MY при конкурирующей гипотезе. Н₁: МХ не равно МУ с уровнем значимости a.

Схема решений.

1. Находим S²_x и S²_y - исправленные выборочные.

2. Вычисляем набд=людаемое значение критерия

Т= (x- y) _* mn(m+n-2)

(n-1)S²_x+(m-1)S²_Y Ö m+n

Оказывается критерий Т –случайная величина распределения Стьюдента.

3. По заданному уровню значений a и числу степеней свободы k=m+n-2 по таблице критических точек распределения Стьюдента находим критическое значение параметра Ткр. (a, к)

4. Сравниваетм Ткр. И Тнабл., делаем вывод:

а) если |Тнабл.|< Ткр.(a, к), то нет оснований отвергнуть Н₀.

б) если |Тнабл.|>Ткр.(a, к), то гипотезу отвергаем.

3. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

Х и У – нормальные генеральные совокупности. По выборкам найдены S²_x и S²_y Требуется проверить гипотезу Н₀: DX=DY при конкурирующей гипотезе Н₁ а) DX>DY б)DX не равно DY.

Схема решение в случае а).

1. Вычисляется наблюдаемое значение критерия. Fнабл.= S²_{больша е}/ S²_{меньшая} =S²_x/ S²_y. Оказывается, что F – случайная величина, распределённая по закону Фишера-Снедекора.

2.По заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k₁=n-1,k₂=m-1 находим критическую точку Fкр. (a,k₁,k₂) k₁ – число степеней свободы большей дисперсии,k₂ - число степеней свободы меньшей дисперсии.

3.Сравнивая Fкр. и Fнабл.,делаем вывод: Если Fкр. < Fнабл., то гипотезу Н₀ принимаем, если Fкр. > Fнабл., то гипотезу отвергаем.

Схема решения в случае б) аналогична,только в №2 F(a/2,k₁,k₂), в №3 k₁=n-1,k₂=m-1 или k₂=n-1,k₁=m-1, так как k₁ – число степеней свободы большей дисперсии,k₂ - число степеней свободы меньшей дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о виде закона распределения (Критерий Пирсона).

Х – случайная величина. Требуется но уровню значимости a проверить гипотезу о нормальном распределении Х.

Схема решения.

1. Весь интервал выборочных значений разделить на S частных интервалов одинаковой длины. Находим середины частичных интервалов, переходим к новому выборочному распрелению. n_i –число фактических зачений попавших в i интервал.

2. Для получения последовательности равностоящих вариантов находим

X^* ср =(å^S_i=1n_ix_i)/n, G^*=Öån_i*(x_i-x^*)²/n^Ø.

попадания х в i интервал. Если х – нормально распределённая случайная величина, то Z распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией и p_i=Ф(Z_i+1) – Ф(Z_i), а Z_i=(x_i-x^*)/G^*

3. Нормируем случайную величину х, рассматриваетм величину Z=(x-x^*)/G^*

4. вычисляем теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты n¢_i =n_*p_i,p_i - веростность

5. В качестве проверки нулевой гипотезы применим критерий Пирсона.

c²=å^s(n_i-n_i¢)²

ⁱ⁼¹ n_i¢

6. По таблиые критических точек распределения c² по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k=s-3 находим критическую точку c²_кр.(a,к).

7. Сравнивая c²_кр. и c²_набл., делаем вывод: - если c²_набл.< c²_кр., то гипотезу о нормальном распределении Х принимаем (с уровнем значимости a)

- если c²_набл.> c²_кр., то гипотезу о нормальном распределении Х отвергаем.

(Аналогично проверяется,что гипотеза принадлежит любому другому распределению, только в № 4 р_i будет считаться в соответствии с этим распределением.)