2015-05-05
425
С помощью интегрирования по частям вычислить неопределённый интеграл от функции вида
1. 
16. 
2. 
17. 
3. 
18. 
4. 
19. 
5. 
20. 
6. 
21. 
7. 
22. 
8. 
23. 
9. 
24. 
10. 
25. 
11. 
26. 
12. 
27. 
13. 
28. 
14. 
29. 
15. 
30. 
Задача 4.2.
Вычислить неопределённый интеграл с помощью разложения на простейшие дроби подинтегральной функции
1. 
16. 
2. 
17. 
3. 
18. 
4. 
19. 
5. 
20. 
6. 
21. 
7. 
22. 
8. 
23. 
9. 
24. 
10. 
25. 
11. 
26. 
12. 
27. 
13. 
28. 
14. 
29. 
15. 
30. 
Задача 4.3.
Вычислить с помощью подстановки неопределённый интеграл от функции
1. 
16. 
2. 
17. 
3. 
18. 
4. 
19. 
5. 
20. 
6. 
21. 
7. 
22. 
8. 
23. 
9. 
24. 
10. 
25. 
11. 
26. 
12. 
27. 
13. 
28. 
14. 
29. 
15. 
30. 
Задача 4.4.
Вычислить с помощью подстановки неопределённый интеграл от функции
1. 
16. 
2. 
17. 
3. 
18. 
4. 
19. 
5. 
20. 
6. 
21. 
7. 
22. 
8. 
23. 
9. 
24. 
10. 
25. 
11. 
26. 
12. 
27. 
13. 28. 
14. 
29. 
15. 
30. 
Задача 4.5.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Задача 4.6.
Переходя в полярную систему координат 
вычислить с помощью опре-деленного интеграла площадь, ограниченную кривыми:
|
|
|
первым витком спирали Архимеда 
и отрезком полярной оси
одним лепестком линии 
кардиоидой 
и окружностью 
12. одним лепестком линии 
13. четырёхлепестковой розой 
14. лемнискатой Бернулли 
первым и вторым витками спирали Архимеда 
и отрезком полярной
оси
окружностью 
и прямой 
17. 
и 
(большая часть)
18. 
и 
(большая часть)
22. 
(меньшая часть)
23. 
и 
25. 
и
26. 
(меньшая часть)
27. 
(вне окружности)
28. 
и первого лепестка линии 
29. 
между прямыми 
Задача 4.7.
Вычислить несобственный интеграл или доказать его сходимость
1. 
16. 
2. 
17. 
3. 
18. 
4. 
19. 
5. 
20. 
6. 
21. 
7. 
22. 
8. 
23. 
9. 
24. 
10. 
25. 
11. 
26. 
12. 
27. 
13. 
28. 
14. 
29. 
15. 
30. 
Задача 4.8.
Вычислить массу неоднородной пластины 
, ограниченной заданными линиями и имеющей поверхностную плотность 
|
|
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
|
| 
| 
|
Задача 4.9.
Вычислить с помощью тройного интеграла объем области 
, ограниченной указанными поверхностями.
| № вар. |
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
Задача 4.10.
Вычислить:
(а) заряд проводника, располагающегося вдоль кривой 
с плотностью 
с помощью криволинейного интеграла первого рода 
(b) работу силы 
вдоль траектории от точки 
до точки 
с помощью криволинейного интеграла второго рода 
|
|
|
- отрезок прямой между 
- дуга параболы 
между 
- отрезок прямой между 
- четверть окружности 
между 
- дуга параболы 
между 
- дуга параболы 
между 
- отрезок прямой между 
- четверть окружности 
между
- дуга параболы 
между 
- полуокружность 
между
- дуга параболы 
между 
- полуокружность 
между 
- дуга параболы 
между 
- отрезок прямой между 
- полуокружность 
между 
- полуокружность 
между
Задача 4.11.
С помощью поверхностного интеграла первого рода
вычислить расход 
жидкости с полем скоростей
протекающей за единицу времени через часть 
плоскости 
лежащую в первом октанте. Единичная нормаль 
направлена вне начала координат.
| № вар. | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| ||||||
| 
| ||||||
| 
| ||||||
| 
|
| |||||
| 
| ||||||
| 
| ||||||
| 
| ||||||
|
| 
|
| |||||
| 
| ||||||
|
| 
|
| |||||
|
| 
| ||||||
|
|
| ||||||
| 
| ||||||
|
| 
| ||||||
| 
| ||||||
|
|
| ||||||
|
| ||||||
|
|
| ||||||
|
| ||||||
| 
| ||||||
|
|
| ||||||
|
|
| ||||||
|
| 
| ||||||
| 
| ||||||
| 
| -8 | |||||
| 
| 
| |||||
| 
|
| |||||
|
|
| 
| |||||
| 
| ||||||
|
|
4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
4.1. Решение типового варианта контрольной работы №1
Задача 1.1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений
Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований расширенную матрицу 
приведем к трапециевидной форме
~ 
~ 
.
Следовательно, 
(числу неизвестных системы). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.
а). По формулам Крамера: 
где
.
Находим 
.
б). С помощью обратной матрицы 
где 
- обратная матрица к 
, 
- столбец правых частей.
.
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Решение системы
,
т.е. 
.
в). Наша система эквивалентна
(прямой ход Гаусса совершен при нахождении рангов матриц и ).
Тогда 
Задача 1.2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений
С помощью элементарных преобразований матрицу приведем к трапециевидной форме
~ 
.
Следовательно, 
2<3 и система имеет бесконечное множество решений, зависящих от 3-2=1 произвольной постоянной. Исходная система эквивалентна
Откуда 
.
Полагая 
(произвольной постоянной), имеем
, 
.
Задача 1.3. По координатам точек 
, 
, 
найти:
а). Модуль вектора 
;
.
б). Скалярное произведение векторов 
и 
.
.
в). Проекцию вектора 
на вектор 
.
.
г). Координаты точки 
, делящей отрезок 
в отношении 1:3; 
. Следовательно:
Задача 1.4. Даны векторы 
Необходимо:
а). Найти модуль векторного произведения 
.
=
