Операция умножения

Операция сложения.

Определение. Сложением двух комплексных чисел и называется такое комплексное число с координатами , где , , т.е. .

Свойства:

• 
  ;
• 
  
• 
  ;
• 
  для , что .

Операция умножения.

Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется такое комплексное число с координатами , где , , т.е. .

Свойства:

• 
  ;
• 
  
• 
  , для , что ;
• 
  для , что .

Если комплексное число имеет вид , то данное число находится на числовой оси и можно записать просто в виде действительного числа , следовательно . Если обозначить , то получим, что Таким образом любое комплексное число можно записать в другом виде:

, здесь и – действительные числа, мнимое число.

2) Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z ₁ = (x ₁, y ₁) и z ₂ = (x ₂, y ₂) называются равными, если x ₁ = x ₂ и y ₁ = y ₂;

2) суммой комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z вида

z = (x ₁ + x ₂, y ₁ + y ₂);

3) произведением комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число

z = (x ₁ x ₂ - y ₁ y ₂, x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z такое, что z ₂ + z = z ₁, откуда находим z = z ₁ - z ₂ = (x ₁ - x ₂, y ₁ - y ₂).

Частным комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда , т. е. i ² = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длинарадиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосьюдействительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или

3) Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается

z = a + bi = r (cos φ + i sin φ).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.