Нормальная жорданова форма

Пусть А – линейный оператор, действующий в комплексном векторном пространстве V. Если в V существует базис { e_k } из собственных векторов оператора А, то в этом базисе матрица оператора А имеет диагональный вид , где λ – соответствующие собственные значения оператора А.

Так будет, например, в том случае, когда характеристичное уравнение оператора А: det(A – l Е) = 0 имеет n попарно различных корней.

Однако это далеко не всегда так. Например, оператор А с матрицей А = имеет характеристическое уравнение: j(l) = (2 - l)² = 0. Это уравнение имеет кратный корень λ = 2 и этому корню соответствует лишь один собственный вектор (1, 0) (или ему коллинеарные). И матрица оператора А ни в каком базисе не приводится к диагональному виду.

Поэтому возникает вопрос, о каком-то другом, достаточно простом виде, к которому можно привести матрицу всякого линейного оператора.

В комплексном пространстве таким «простейшим», каноническим видом принято считать так называемую жорданову форму матрицы.

Def: Жордановой клеткой G _k(λ) называется квадратная матрица k -го порядка вида:

.

Порядок жордановой клетки может быть любым. В частности, если k = 1, то клетка имеет простейший вид: (λ)

Def: Жордановой матрицей называется матрица вида: . Здесь G_k (λ) – жордановы клетки.

В частности, если оператор А имеет матрицу , то нормальная жорданова форма матрицы оператора состоит из двух жордановых клеток. Нетрудно заметить, что a и β – соответственные значения оператора А. И, кроме того:

Ае ₁ = a е ₁; А е ₂ = a е ₂ + е ₁; Ае ₃ = a е ₃ + е ₂; Ае ₄ = b е ₄; Ае ₅ = b е ₅ + е ₄.

Тº. Произвольный линейный оператор А в комплексном пространстве V имеет базис

, в котором матрица оператора А имеет жорданову форму.

Доказательство теоремы довольно громоздко и мы его не приводим. Построение базиса и приведение матрицы оператора к жордановой форме продемонстрируем на примерах.