2015-05-05
603
Метод позволяет по имеющейся случайной выборке построить функцию u( Θ, Θ* ), распределенную асимптотически нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. В основе метода лежат следующие положения. Пусть:
f(х, Θ* ) – плотность распределения случайной величины Х;
ln [ L(x, Θ* ) ] – логарифм функции правдоподобия;
;
σ2 =М(Y)2 – дисперсия Y.
Если математическое ожидание М(у) =0 и дисперсия Y конечна, то распределение случайной величины
асимптотически нормально с параметрами 0 и 1 при n→∞.
Пример 4.1. Построить доверительный интервал с надежностью g =1– a для оценки m*x математического ожидания mx случайной величины Х, имеющей экспоненциальное распределение с функцией плотности
f(x, λ) = λехр(–λ х).
Решение. Известно, что для экспоненциального закона распределения математическое ожидание m1 = 1/ λ, а дисперсия m2 = 1/ λ 2. Обозначим через l оценку параметра λ. Определим оценку математического ожидания m*x, вспомогательную переменную у, производную от логарифма функции прачвдоподобия:
Оценка m*x параметра mx является состоятельной и несмещенной, следовательно:
М[у]=М[l–1 – х) = 0
и значение σ 2 = М(l–1 – х)2 =l–2 конечно.
Тогда случайная величина
распределена нормально с параметрами 0 и 1.
Нормальное распределение симметрично, поэтому границы интервала следует выбрать симметрично относительно нулевой точки. Вероятность g= =1– a того, что модуль величины w не превысит некоторого заданного значения d, составит
где Ф(d) – значение функции нормального распределения в точке d.
Величина d равна квантили u1–a/2 стандартного нормального распределения уровня 1– a /2. Значение абсолютной погрешности оценивания
ε = | mx – m*x| =d /(ln0,5) = u1– a/2 /(ln0,5).
Итак, имея достаточный объем выборки ЭД и задаваясь определенным уровнем надежности g можно определить доверительный интервал
θ 0 = m*x – ε, θ 1 = m*x + ε,
который с заданной вероятностью содержит неизвестный параметр mx.
Аналогичные результаты для некоторых параметров распределения можно получить, используя более простые рассуждения.
