Фильтрация во временной и частотной областях

Как было сказано выше, сейсмические сигналы могут рассматриваться в пространственно-времен­ной и пространственно-частотной областях. Связь между обеими формами представления описывается выражениями (6) и (7), а процедура фильтрации – выражениями вида (8):

(8’) ,

где f_вх(t), f_вых(t) – сейсмические сигналы на входе и выходе фильтра (во временной области),
F_вх(ω), F_вых(ω) – комплексные спектры сейсмических сигналов на входе и выходе фильтра,
h(t), H(ω) – временнáя (импульсная) и комплексная частотная характеристики фильтра.

Комплексная частотная характеристика идеального полосового фильтра может быть записана как:

(17)

Комплексные спектры и комплексную частотную характеристику можно представить в действительной форме – в виде амплитудно-частотных и фазово-частотных спектров:

(18)

Здесь | F(ω) | – амплитудно-частотный спектр сейсмического сигнала,
| H(ω) | – амплитудно-частотная характеристика фильтра (АЧХ),

φ(ω) – фазово-частотный спектр сейсмического сигнала,

ψ(ω) – фазово-частотная характеристика фильтра (ФЧХ),

Процедура фильтрации в таком представлении описывается выражениями:

(19)

Из (19) видно, что в спектральной области процедура фильтрации выполняется достаточно просто – она сводится к перемножению последовательностей чисел, представляющих собой АЧХ входного сигнала и фильтра, и сложению последовательностей, описывающих их фазовые характеристики. Но эта простота достигается необходимостью предварительного преобразования фильтруемых сигналов из временной формы в частотную с помощью Фурье-преобразования (6) или (7).

Во временной области над входным сигналом f(t) и временнóй характеристикой фильтра выполняется операция свёртки (8’), описываемая интегралом свёртки (интегралом Дюамеля):

в непрерывной форме: (20)

здесь – усечённый оператор частотного фильтра,

t – временнóй сдвиг функций f(t) и .

или в дискретной форме: (21)

здесь m – номер отсчёта входного сигнала,
n – длина оператора в отсчётах,
j – номер отсчёта в операторе,

dt – шаг дискретизации входного сигнала и оператора фильтра.

Из выражений (20) и (21) видно, что выполнение собственно процедуры фильтрации во временной области более сложно, чем в спектральной, что, однако, искупается тем, что не требуется предварительного преобразования сигнала. Таким образом, фильтрация во временной и в частотной области в целом оказываются равноценными по сложности.

Для упрощения фильтрации в частотной области достаточно часто используется так называемое
z-преобразование, позволяющее упростить вычисление спектра дискретизированного сигнала. Запишем Ф-преобразование в дискретной форме (7), опуская общий множитель перед знаком суммы:

F_ω = = (22)

Обозначм z = , тогда равенство (22) можно записать как: F_ω = f ₀· z ⁰ + f ₁· z ¹ + f ₂· z ² + f ₃· z ³ + …. (23)

Например: если f _m = {-3 -2 1 3 2}, то F_ω = (-3)· z ⁰ + (-2) z ¹ + (1) z ² +(3) z ³ + (2) z ⁴

Таким образом, заранее вычислив степени функции z легко получить F_ω = f (z), а задав требуемую частотную характеристику фильтра H_ω можно выполнить частотную фильтрацию в спектральной области F _{вых ω}= f _вх(z) · H_ω.