Одноканальная частотная (неоптимальная) фильтрация

2.1 Математическая основа и постановка задачи частотной фильтрации

v Частотная фильтрация базируется на аппарате Фурье-преобразования (далее – Ф-преобразование):

В непрерывной форме: (6)

В дискретной форме: (7)

Далее для краткости связанность функций f(t) и S(w) (x_t и X_w) парой непрерывных (или дискретных) Ф-преобразований будем обозначать как f(t) Û S(w) (или x_t Û X_w)

v Пусть сигнал на входе фильтра есть x(t) Û X(w).
Пусть желаемый выходной сигнал – y(t) Û Y(w) (в непрерывной или дискретной форме)

v Входной и выходной сигналы связаны соотношениями:

(8) ,
где H(w) – комплексная характеристика фильтра в частотной области;
h(t) – временнáя характеристика, (импульсная реакция) фильтра.

* – операцися свертки, описываемая интегралом Дюамеля.
Временнáя и комплексная частотная характеристики фильтра связаны Ф-преобразованием (h(t) Û H(w)).

v Из линейности Ф-преобразования следует линейность процедуры фильтрации (процедура фильтрации описывается линейным преобразованием).

v Частотная фильтрация эффективна, если спектры полезных сигналов отличаются от спектров помех или спектр помех имеет специфические характеристики (f = 50 Гц).

v Задача построения (синтеза) частотного фильтра сводится к нахождению нужной комплексной частотной (или импульсной) характеристики фильтра.

v Если спектр полезного сигнала ограничен полосой частот w_{гран 1} ¸ w_{гран 2}, то:

(9) Н(w) =

2.2 Типы частотных фильтров.

v Частотные фильтры могут быть:
~ физически реализуемыми;
~ физически нереализуемыми.

v Физически реализуемые фильтры могут быть как физическими объектами, так и математическими (обрабатывающими программами ЭВМ).
Физически нереализуемыми – только математические.

v Физически осуществимые фильтры должны отвечать двум условиям:

(10)

v Смысл второго условия – временнáя характеристика фильтра должна быть затухающей функцией.

v Смысл первого условия:

~ невозможна физическая реализация фильтра с симметричной временнóй характеристикой вида
h(t) = ,

но возможен фильтр h(t) = .

Замечание: физически осуществимый фильтр всегда сдвигает фазу сигнала, т.к. их фазово-частотная характеристика ненулевая (j(w)¹ 0). Если j(w) = 0, то h(t) – функция четная, т.е h(t) = h(-t), что будет показано ниже.

v Фильтры, в минимальной степени сдвигающие сигнал (минимально-фазовые фильтры) должны удовлетворять условию (без доказательства): ln H(j) = ,
где H(w) = , ln H(w)= ln |H(w)| – jj(w)

2.3 Синтез частотных фильтров

2.3.1 Фильтры нижних частот

v Комплексную частотную характеристику ФНЧ, в соответствии с выражением (9), можно записать как

(9`) H(w) =

Комплексная частотная характеристика симметрична относительно w₀ = 0.
Импульсная характеристика (в соответствии с (4)) с точностью до постоянного множителя 1/2 p и с учётом разложения экспоненциального члена по формуле Эйлера (e^±jj = cos j ± j sin j) может быть записана как:

h(t) =

Фазово-частотная характеристика фильтра j(w) может быть выражена через действительную (Re (w)) и мнимую (Im (w)) части как: .
Если фазовые сдвиги в фильтре отсутствуют (j(w) = 0), то это возможно лишь при Im (w) = 0. Тогда h(w) – действительная функция, т.е. (с учётом (5`)):

h(t) = (11)

Форма временнóй характеристики ФНЧ.

v В соответствии со свойствами Ф-преобразования (теорема масштабов) из ограниченности частотной характеристики следует неограниченность импульсной. В реальных обрабатывающих системах при фильтрации сигналов во временной области используются операторы фильтров ограниченной длины (М): при .
Тогда Û

v Показано, что в классе функций вида (3) наилучшее приближение по МНК (в метрике l₂) имеет оператор вида:

(12)

Частотная характеристика ФНЧ с ограниченным оператором

v Для неё характерны:

~ плавный спад в области w_гр (вместо ступени у идеальн. фильтра);

~ флуктуации амплитуды частотной характеристики вследствие разрывности импульсной характеристики (эффект Гиббса).

v Максимальная амплитуда флуктуаций не зависит от длины оператора фильтра (М) и равна» , т.е. в области подавления остаточная амплитуда остается значимой.

v Для уменьшения флуктуаций в характеристику фильтра вводится сглаживающий элемент (следствием его применения будет не только уменьшение колебаний Гиббса, но и уменьшение крутизны характеристики в области перехода от полосы пропускания к полосе гашения). Рассмотрим два фильтра с элементами сглаживания.

ФНЧ с косинусоидальным сглаживанием

v Частотная характеристика такого фильтра и её график:

(13)

Оператор фильтра: = (14)

v Фильтр, описываемый выражениями (13) и (14), обеспечивает наилучшее подавление при выполнении соотношения М x ³ 2.6 p (15)
Соотношение (11) является основой для выбора длины оператора фильтра (М) по заданной ширине переходной зоны (2 x), характеризующей крутизну частотной характеристики фильтра – чем уже переходная зона (ближе характеристика фильтра к идеальной), тем длинее оператор фильтра.

Фильтр Баттерворта

v Фильтр Баттерворта задается квадратом частотной характеристики: ² = (16),
где:
w_гр – частота среза фильтра;
n – целое число, определяющее порядок фильтра (чем больше n, тем ближе фильтр к идеальному).

~ при w ® 0 частотная характеристика ® 1;

~ при w = w_гр = = 0.707 (независимо от знач. n). Т.О., значения частотной характеристики в полосе пропускания изменяются от 1 до 0.707 (неравномерность составляет – 3 дБ).

v Крутизна частотной характеристики фильтра Баттерворта в переходной зоне определяется выражением:
К (w) = (дБ/окт),
где w ₂ = 2 w ₁ (w ₁ ¸ w ₂ – частотный диапазон, равный одной октаве).

v Порядок фильтра выбирается, исходя из желаемой степени подавления заданной частоты.

v Существуют и другие способы сглаживания .
Далее под h(t) и будем понимать характеристики сглаженных фильтров.

2.3 Принципы синтеза других типов частотных фильтров.

ФВЧ

v Частотную характеристику ФВЧ можно представить как разность между спектром d-импульса и частотной характеристикой ФНЧ: =

Оператор фильтра: = =
= =

Общие замечания относительно ФНЧ и ФВЧ

~ При обработке геофизической информации, как правило, используются цифровые (дискретные) фильтры, которые имеют периодические частотные характеристики:

~ При регистрации или воспроизведении все спектральные составляющие сигналов за пределами диапазона (w_гр ¸ W = p /d t) должны быть устранены, иначе возникают зеркальные помехи (элайсинг-эффект).