2015-04-20
341
1). y= - 
;
2). 
;
3). 
;
Задания для самостоятельного решения и решения у доски.
Найти производные следующих функций:
1. y=x3+2x2+8; 
=
2. y=2 
; =
3. y=xa+b; =
4. y=(1-4x3)(1+2x2); =
5. y=2x- 
; =
6. y=tgx + lnx + 
; =
7. y=excosx; =
8. y= 
; =
9. y= 
; =
10. y=e3x; =
11. y= x+sinx cosx; =
12. y=sin 
; =
13. y= 
; =
14. y= 
; =
15. y=ln(ecosx); =
16. y= 
; =
17. y= 
; =
18. y= 
; =
19. y= lg3(x2); =
20. y= 
; =
Примеры нахождения дифференциала функции:
1. y= 
; dy = 
dx;
; dy = 
;
2. y= 
;
dy= 
= 
= 
;
Найти дифференциалы следующих функций:
1). y=(2x+x2)3; dy=
2). y= 
; dy=
3). y= 
; dy=
4). y=xex-ex-2; dy=
5). y= 
; dy=
Домашнее задание:
I). Найти производные функций:
1). y=(x4-x2+1)3; =
2). y= 
; =
3). y= 
; =
4). y= 
; =
5). y=sin(cos2x)cos(sin2x); =
6). y= 
; =
7). y= 
; =
II). Найти дифференциалы функций:
1). y= 
; dy=
2). y=ex/2 cos x/2; dy=
3). y= 
; dy=
Занятие №2.
Тема: Градиент функции. Основы интегрирования.
Цель: 1. Изучение основных понятий и определений. 2. Получение навыков интегрирования. 3. Освоение основных методов интегрирования.
Краткая теория. I. Говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины, если в каждой точке пространства определено значение этой величины. Поле может быть скалярным (давление, температура, концентрация) или векторным (скорость, сила).
Поле может быть стационарным, если оно не меняется со временем, или нестационарным в обратном случае. С формальной точки зрения стационарное поле - это функция трех переменных x, y,z:
U (x,y,z). В поле дана точка М. Возможное направление выхода из нее - l.
Производной от U по направлению l называется скорость изменения поля в этом направлении в расчете на единицу длины:
| l
Эту производную можно записать:
Правую часть удобно записать в виде скалярного произведения двух векторов:
Первый из них называется градиентом поля:
grad U = 
(2.1)
Второй вектор:
называется единичным вектором направления l.
Вектор grad U в точке М всегда указывает в сторону наибыстрейшего возрастания поля U.
II. Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x).
Например: f(x)=cos x ®F(x)=sin x
f(x)= x2 ® F(x)=x3/ 3
Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x) dx называется неопределенным интегралом и обозначается: 
= F(x) + C.
Основные интегралы:
1). 
, (n ¹ -1) (2.2); 5). 
sin x dx= - cos x + C, (2.6);
2). 
½x½ + C, (2.3); 6). 
cosx dx= sin x + C, (2.7);
3). 
, (2.4); 7). 
tg x + C, (2.8);
4). ex dx= ex + C, (2.5); 8). 
- ctg x + C, (2.9).
Основные методы интегрирования.
1. Метод замены переменной.
Если 
(t) = f(t) и t= j (x), то 
F(j(x)) + C.
Например:
½d(2x - 5)=2dx ½= 
=
= 
2. Интегрирование подстановкой.
Рассмотрим на примере:
Пусть: 1 - x =t и x=1- t. Дифференцируя имеем: dx= - dt. Тогда:
- 
= - 
.
3. Интегрирование по частям.
UdV=UV - VdU
Пример:
x sinx dx= 
= - x cosx - (-cosx)dx= - x× ×cosx+sin x + C.
Задания для самостоятельного решения и решения у доски.
1). Найти интегралы методом замены переменной.
1). 
=
2). 
=
3). 
=
4). 
=
5). 
=
2). Проинтегрировать методом подстановки:
1. 
=
2. 
=
3. 
=
4. 
=
5. 
=
1. 
=
2. 
=
3. 
=
4. 
=
5. 
=
4). Найдите интегралы:
1. 
=
2. 
=
3. 
=
4. 
=
5. 
=
6. 
=
Домашнее задание.
Вычислить интегралы:
1. 
=
2. 
=
=
3). Проинтегрировать по частям.
4. 
=
5. 
=
6. 
=
7. 
=
8. 
=
9. 
=
10. 
=
