Примеры решения задач

1). y= - ;

2). ;

3). ;

Задания для самостоятельного решения и решения у доски.

Найти производные следующих функций:

1. y=x³+2x²+8; =

2. y=2 ; =

3. y=x^a+b; =

4. y=(1-4x³)(1+2x²); =

5. y=2^x- ; =

6. y=tgx + lnx + ; =

7. y=e^xcosx; =

8. y= ; =

9. y= ; =

10. y=e^3x; =

11. y= x+sinx cosx; =

12. y=sin ; =

13. y= ; =

14. y= ; =

15. y=ln(e^cosx); =

16. y= ; =

17. y= ; =

18. y= ; =

19. y= lg³(x²); =

20. y= ; =

Примеры нахождения дифференциала функции:

1. y= ; dy = dx;

; dy = ;

2. y= ;

dy=

= = ;

Найти дифференциалы следующих функций:

1). y=(2x+x²)³; dy=

2). y= ; dy=

3). y= ; dy=

4). y=xe^x-e^x-2; dy=

5). y= ; dy=

Домашнее задание:

I). Найти производные функций:

1). y=(x⁴-x²+1)³; =

2). y= ; =

3). y= ; =

4). y= ; =

5). y=sin(cos²x)cos(sin²x); =

6). y= ; =

7). y= ; =

II). Найти дифференциалы функций:

1). y= ; dy=

2). y=e^x/2 cos x/2; dy=

3). y= ; dy=

Занятие №2.

Тема: Градиент функции. Основы интегрирования.

Цель: 1. Изучение основных понятий и определений. 2. Получение навыков интегрирования. 3. Освоение основных методов интегрирования.

Краткая теория. I. Говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины, если в каждой точке пространства определено значение этой величины. Поле может быть скалярным (давление, температура, концентрация) или векторным (скорость, сила).

Поле может быть стационарным, если оно не меняется со временем, или нестационарным в обратном случае. С формальной точки зрения стационарное поле - это функция трех переменных x, y,z:

U (x,y,z). В поле дана точка М. Возможное направление выхода из нее - l.

Производной от U по направлению l называется скорость изменения поля в этом направлении в расчете на единицу длины:

| l

Эту производную можно записать:

Правую часть удобно записать в виде скалярного произведения двух векторов:

Первый из них называется градиентом поля:

grad U = (2.1)

Второй вектор:

называется единичным вектором направления l.

Вектор grad U в точке М всегда указывает в сторону наибыстрейшего возрастания поля U.

II. Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x).

Например: f(x)=cos x ®F(x)=sin x

f(x)= x² ® F(x)=x³/ 3

Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x) dx называется неопределенным интегралом и обозначается: = F(x) + C.

Основные интегралы:

1). , (n ¹ -1) (2.2); 5). sin x dx= - cos x + C, (2.6);

2). ½x½ + C, (2.3); 6). cosx dx= sin x + C, (2.7);

3). , (2.4); 7). tg x + C, (2.8);

4). e^x dx= e^x + C, (2.5); 8). - ctg x + C, (2.9).

Основные методы интегрирования.

1. Метод замены переменной.

Если (t) = f(t) и t= j (x), то F(j(x)) + C.

Например:

½d(2x - 5)=2dx ½= =

=

2. Интегрирование подстановкой.

Рассмотрим на примере:

Пусть: 1 - x =t и x=1- t. Дифференцируя имеем: dx= - dt. Тогда:

-

= - .

3. Интегрирование по частям.

UdV=UV - VdU

Пример:

x sinx dx= = - x cosx - (-cosx)dx= - x× ×cosx+sin x + C.

Задания для самостоятельного решения и решения у доски.

1). Найти интегралы методом замены переменной.

1). =

2). =

3). =

4). =

5). =

2). Проинтегрировать методом подстановки:

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

4). Найдите интегралы:

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

Домашнее задание.

Вычислить интегралы:

1. =

2. =

3. =

3). Проинтегрировать по частям.

4. =

5. =

6. =

7. =

8. =

9. =

10. =