Краткая теория. 1. Формула Ньютона- Лейбница

1. Формула Ньютона- Лейбница:

, где (3.1)

F(x) - первообразная функции f(x), т.е. .

Свойства определенного интеграла:

; (3.2)

(3.3)

(3.4)

Примеры решения:

1.

2.

3.

4.

= .

Обратите внимание, при подстановке пределы интегрирования меняются.

Для вычисления определенного интеграла используются те же методы, что для нахождения неопределенного.

5). Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=2x - x² и y=x.

Нужно найти пределы интегрирования a и b. Для этого нужно решить уравнение:

2x - x² = x

x - x² = x² - x = 0

x(x - 1) = 0

x₁ = 0 = a

x₂ = 1 = b

S= =1/2 - 1/3 = 1/6.

II. Общий вид дифференциального уравнения:

F(x, y, (3.7)

Общее решение дифференциального уравнения:

y=f(x, C₁, C₂,..., C_n). (3.8)

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

(3.9)

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

y=f(x, C). (3.10)

1). Дифференциальное уравнение типа :

dy=f(x) dx

Общее решение: y= f(x)dx=F(x) + C.

2). Дифференциальное уравнение типа :

;

Общее решение:

3). Дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

f(x) dx + j (y) dy = 0

Общее решение:

F(x) + F(y) = C.

4). Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

f(x) j(y) dx + f(x) Ф(y) dy = 0.

Приведем уравнение к уравнению с разделенными переменными:

Общее решение: или F₁ (x) + F₂ (y) = C.

Примеры решения:

1). Является ли решением данного дифференциального уравнения указанная функция?

, y=x e^x

Для этого продифференцируем функцию два раза и подставим в исходное уравнение ее вторую производную и саму функцию. Если тождество окажется верным, значит приведенная функция является решением уравнения.

это

Подставляем в уравнение y и :

2 e^x + x e^x + x e^x = 2 e^x + 2 x e^x ¹ 2

Таким образом, данная функция не является решением приведенного дифференциального уравнения.

2). Найдем общее решение дифференциального уравнения:

Разделим переменные:

Интегрируем обе части уравнения:

y² = ln x + C,

- общее решение.

Задания для самостоятельного решения и решения у доски.

1). Вычислите интегралы:

1. =

2. =

3. =

4. =

5. =

6. =

7. =

8. =

9. =

10. =

2. Выясните, является ли решениями данных дифференциальных уравнений указанные функции:

1.

2.

3.

4.

5. (x+2)dx - 2 dy = 0, y=x² / 4 + x.

3. Найдите общее решение следующих дифференциальных уравнений:

1.

2. (x + 1) dx - 2 xy dy = 0;

3. x dx = y dy;

4.

5.

Домашнее задание:

1. Вычислить интегралы:

1). =

2). =

3). =

4). =

5).

2. Являются ли решениями данных дифференциальных уравнений приведенные функции

1)

2)

3)

3. Найти общее решение:

1)

2)

3) dy + 3y dx = 0.